Chiều cao là 4 m tương ứng với \(b = 4\)

Chiều rộng bằng 10 m nên \(2a = 10 \Rightarrow a = 5\)

Vậy phương trình chính tắc của elip có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{16} = 1\)

a) Chọn hệ trục tọa độ Oxy với gốc tọa độ tại tâm đáy nhà vòm, trục tung thẳng đứng

Nhà vòm có dạng elip nên có phương trình chính tắc là \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)   (với a,b>0)

Ta có chiều cao 8 m nên \(OA = b = 8\), chiều rộng của vòm là 20 m, suy ra \(BC = 2a = 20 \Rightarrow a = 10\).

Suy ra, phương trình miêu tả hình dáng nhà vòm là \(\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{64}} = 1\)

b) Điểm đó cách chân tưởng 5 m tương ứng cách tâm 5 m (vì từ tâm vòm đến tưởng là 10 m)

Thay \(x = 5\) vào phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{64}} = 1\), ta tìm được \(y = 4\sqrt 3 \)

Vậy khoảng cách phương thẳng đứng từ một điểm cách chân tường 5 m đến nóc nhà vòm là \(4\sqrt 3\) m

75 cm trên bản vẽ ứng với 2,5 đơn vị trên mặt phẳng tọa độ.

Gọi M là điểm trên vòm ô thoáng, có hoành độ 2,5 và tung độ là h.

M thuộc elip nên \(\frac{{2,{5^2}}}{{16}} + \frac{{{h^2}}}{4} = 1\)

\(\Leftrightarrow h = \sqrt {4.\left( {1 - \frac{{2,{5^2}}}{{16}}} \right)}  = \frac{{\sqrt {39} }}{4} \approx 1,56\)

Vậy độ cao h trên thực tế là: \(h = 1,56.30 = 46,8\) cm

Chóa đèn có hình dạng parabol nên phương trình mô phỏng chóa đèn có dạng \({y^2} = 2px\)

Gắn hệ tọa độ Oxy vào chóa đèn với gốc tọa độ tại đỉnh chóa đèn, suy ta phương trình đó đi qua điểm có tọa độ (3; 9)

Thay tọa độ điểm (3; 9) vào phương trình \({y^2} = 2px\), ta có \({9^2} = 2p.3 \Rightarrow p = \frac{{27}}{2}\)

Suy ra phương trình mô tả chóa đèn là \({y^2} = 27x\) với \(x \le 3\)

Hình ảnh mô phỏng chóa đèn có dạng như hình dưới:

\(F_1\left(-2\sqrt{2};0\right);F_2\left(2\sqrt{2};0\right)\)

Gọi \(M\left(x;y\right)\Rightarrow\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{1}=1\) (1) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{F_1M}=\left(x+2\sqrt{2};y\right)\\\overrightarrow{F_2M}=\left(x-2\sqrt{2};y\right)\end{matrix}\right.\)

Do \(\widehat{F_1MF_2}=90^0\Rightarrow F_1M\perp F_2M\Rightarrow\overrightarrow{F_1M}.\overrightarrow{F_2M}=0\)

\(\Rightarrow\left(x-2\sqrt{2}\right)\left(x+2\sqrt{2}\right)+y^2=0\Rightarrow x^2+y^2=8\) (2)

Từ (1) và (2) có hệ: \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{1}{9}x^2+y^2=1\\x^2+y^2=8\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x^2=\frac{63}{8}\Rightarrow x=\frac{3\sqrt{14}}{4}\)

Câu 2:

\(F_1F_2=24=2c\Rightarrow c=12\)

\(2a=26\Rightarrow a=13\)

\(\Rightarrow b^2=a^2-c^2=13^2-12^2=25\Rightarrow b=5\)

Vậy xưởng cao 5m

a) Ta thấy cổng có hình bán nguyệt và chiều cao của cổng bằng một nửa chiều rộng của đường nên nó có dạng nửa đường tròn

Gắn trục tọa độ tại tim đường, ta có phương trình mô phỏng cái cổng là : \({x^2} + {y^2} = 4,{2^2}\) (với điều kiện \(y > 0\) vì cổng luôn nằm trên mặt đường)

b) Vì xe đi đúng làn nên ta có \(x = 2,2;y = 2,6\)

Khoảng cách từ điểm xa nhất của chiếc xe tài tới tim đường là: \(\sqrt {2,{2^2} + 2,{6^2}}  \simeq 3,41\)

Ta thấy rằng \(3,41 < 4,2\), nên chiếc xe có thể đi qua cổng mà không làm hư hỏng cổng

a) (E):  có a = 10; b = 6 ⇒ c2 = a2 – b2 = 64 ⇒ c = 8.

+ Tọa độ các đỉnh của elip là: A1(-10; 0); A2(10; 0); B1(0; -6); B2(0; 6)

+ Tọa độ hai tiêu điểm của elip: F1(-8; 0) và F2(8; 0)

+ Vẽ elip:

b) Ta có: M ∈ (E) ⇒ MF1 + MF2 = 2a = 20 (1)

MN // Oy ⇒ MN ⊥ F1F2 ⇒ MF12 – MF22 = F1F22 = (2c)2 = 162

⇒ (MF1 + MF2).(MF1 – MF2) = 162

⇒ MF1 – MF2 = 12,8 (Vì MF1 + MF2 = 20) (2).

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

Vậy MN = 2.MF2 = 7,2.

Ta có thiết diện mặt cắt qua trục của chiếc ăng-ten là:

Vậy ta có: A(2; 1/2) mà A ∈ prapol: