Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi \(\hept{\begin{cases}m\ne0\\\Delta\ge0\end{cases}}\)

Xét \(\Delta=\left(m+2\right)^2-8m=\left(m-2\right)^2\ge0\)

Suy ra phương trình đã cho có 2 nghiệm \(x_1;x_2\)với mọi m khác 0

Theo hệ thức Viet , ta có : \(x_1+x_2=\frac{m+2}{m}\left(1\right);x_1x_2=\frac{2}{m}\)(2)

Ta có \(P=\frac{x_1}{x_2+1}+\frac{x_2}{x_1+1}=\frac{\left(x_1^2+x_2^2\right)+x_1+x_2}{x_1x_2}\)

\(=\frac{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2+\left(x_1+x_2\right)}{x_1x_2}\)

\(=\frac{\left(x_1+x_2\right)^2+\left(x_1+x_2\right)}{x_1x_2}-2\)(3)

Từ (1) , (2) và (3) suy ra \(P=\frac{m^2+m+2}{m}\)với m khác 0

Chắc là \(q\left(x\right)=x^2-4????\)

\(f\left(2\right)=2^5+2^2+1=37\) ; \(f\left(-2\right)=-27\)

Do \(f\left(x\right)\) có 5 nghiệm nên f(x) có dạng:

\(f\left(x\right)=\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)\left(x-x_4\right)\left(x-x_5\right)\)

\(\Rightarrow f\left(2\right)=\left(2-x_1\right)\left(2-x_2\right)\left(2-x_3\right)\left(2-x_4\right)\left(2-x_5\right)=37\)

\(f\left(-2\right)=\left(-2-x_1\right)\left(-2-x_2\right)\left(-2-x_3\right)\left(-2-x_4\right)\left(-2-x_5\right)=-27\)

\(\Rightarrow\left(2+x_1\right)\left(2+x_2\right)\left(2+x_3\right)\left(2+x_4\right)\left(2+x_5\right)=27\)

\(A=\left(x_1^2-4\right)\left(x^2_2-4\right)\left(x_3^2-4\right)\left(x_4^2-4\right)\left(x^2_5-4\right)\)

\(A=-\left(2-x_1\right)\left(2-x_2\right)\left(2-x_3\right)\left(2-x_4\right)\left(2-x_5\right)\left(2+x_1\right)\left(2+x_2\right)\left(2+x_3\right)\left(2+x_4\right)\left(2+x_5\right)\)

\(A=-37.27=-999\)

1) \(a=1,b^,=\frac{-2\left(m-1\right)}{2},c=m^2-3m.\)

\(\Delta^'=b^2-ac\Leftrightarrow\Delta^'=\left(-\left(m-1\right)\right)^2-\left(m^2-3m\right)\)

\(=m^2-2m+1-m^2+3m=m+1\)

vậy để pt có nghiệm thì  \(\Delta^'\ge0\Leftrightarrow m\ge-1\)

2)  

a) \(A^2=\left(|x1+x2|\right)^2=x_1^2+x_2^2+2|x_1x_2|\)

     \(A^2=\left(x_1+x_2\right)^2+2|x1x2|-2x_1x_2\)

ap dụng vi ét ta có 

         \(A^2=4\left(m-1\right)^2+2|m^2-3m|-2\left(m^2-3m\right)\)

         \(A^2=4m^2-8m+1-2m^2+6m+2|m^2-3m|\)

          \(A^2=2m^2-2m+1+2|m^2-3m|\)

           \(A=\sqrt{2m^2-2m+1+2|m^2-3m|}\) \(dk;;m\ge-1\)

B) \(\text{|}x_1-x_2\text{|}=\sqrt{\left(x_1-x_2\right)^2}\) " phá căn bậc thì cũng phải phá trị tuyệt đối " " tự chức minh "

  \(B=\sqrt{x_1^2+x_2^2-2x_1x_2}\)   

\(x^2_1+x^2_2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\)

ap dụng vi ét ta có  \(4\left(m-1\right)^2-2m^2+6m=4m^2-8m+4-2m^2+6m=2m^2-2m+4\)

\(-2x_1x_2=-2m^2+6m\)

\(B=\sqrt{2m^2-2m+4-2m^2+6m}=\sqrt{4m+4}=2\sqrt{m+1}\)

             "dk m >= -1"

1) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM :

\(P=\frac{a^2+b^2}{ab}+\frac{ab}{a^2+b^2}\ge2\sqrt{\frac{a^2+b^2}{ab}\cdot\frac{ab}{a^2+b^2}}=2\sqrt{1}=2\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a^2+b^2-ab=0\)

1) Anh phương làm lạ zậy?

Đặt \(x=\frac{a^2+b^2}{ab}\ge\frac{2ab}{ab}=2\) (do a.b > 0 nên ta không cần viết 2|ab| thay cho 2ab)

Khi đó bài toán trở thành: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=x+\frac{1}{x}\) (với \(x\ge2\))

Ta có: \(P=\left(\frac{1}{x}+\frac{x}{4}\right)+\frac{3x}{4}\ge2\sqrt{\frac{1}{x}.\frac{x}{4}}+\frac{3x}{4}\ge1+\frac{3.2}{4}=\frac{5}{2}\)

Vậy P min là 5/2 khi x = 2