Ta có: \(x^3+y^3+z^3=x+y+z+2017\left(1\right)\)

\(\implies\) \(\left(x^3-x\right)+\left(y^3-y\right)+\left(z^3-z\right)=2017\)

chứng minh được :                                                    

       \(x^3-x=x.\left(x^2-1\right)=x.\left(x-1\right).\left(x+1\right)\)

       \(y^3-y=y.\left(y^2-1\right)=y.\left(y-1\right).\left(y+1\right)\)

        \(z^3-z=z.\left(z^2-1\right)=z.\left(z-1\right).\left(z+1\right)\)

   Vì x,y,z là các số nguyên nên:

\(x.\left(x-1\right).\left(x+1\right);y.\left(y-1\right).\left(y+1\right);z.\left(z-1\right).\left(z+1\right)\) là tích của ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3

   Do đó vế trái của (1) luôn chia hết cho 3 , mà 2017 không chia hết cho 3 

Vậy không có các số nguyên x,y,z thỏa mãn yêu cầu bài toán 

y=x+z-a (a=2016)

y^3=(x+z)^3-a^3-3(x+z).a(x+z-a)

-y^3=-[x^3+z^3+3xz(x+z)-a^3-3(x+z).a(x+z-a)]

-3(x+z)[xz-ay]+2016^3=2017^2

2017 không chia hết cho 3 vô nghiệm nguyên

Bạn test lại xem hay biến đổi nhầm nhỉ

Bị lừa rồi.

thực ra rất đơn giản

\(x-y+z=2016\)(1)

\(x^3-y^3+z^3=2017^2\)(2)

(1) số số hạng lẻ phải chắn=> tất cả chẵn (*) hoạc 1 số chẵn(**)

(2) số số hạng lẻ phải lẻ=> vô nghiệm nguyên

\(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}=\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y}\)

<=>x²z+y²x+z²y=x²y+y²z+z²x

<=>(x²z-x²y)+(y²x-z²x)+(z²y-y²z)=0

<=>x².(z-y)-x.(z-y)(z+y)+yz.(z-y)=0

<=>(z-y)(x²-xz-xy+yz)=0

<=>(z-y)(x-z)(x-y)=0

<=>x=y=z

Mà x+y+z=3

=>x=y=z=1

Có thể   \(x=y=z=1\)