\(\Leftrightarrow\left(x^2-4xy+4y^2\right)+\left(y^2-6y+9\right)=5\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2y\right)^2+\left(y-3\right)^2=5\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2y\right)^2=5-\left(y-3\right)^2\) (1)

Do \(\left(x-2y\right)^2\ge0;\forall x;y\)

\(\Rightarrow5-\left(y-3\right)^2\ge0\Rightarrow\left(y-3\right)^2\le5\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left(y-3\right)^2=0\\\left(y-3\right)^2=1\\\left(y-3\right)^2=4\end{matrix}\right.\)

Thay vào (1):

- Với \(\left(y-3\right)^2=0\)  \(\Rightarrow\left(x-2y\right)^2=5\) vô nghiệm do 5 ko phải SCP

- Với \(\left(y-3\right)^2=1\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=4\\y=2\end{matrix}\right.\)

\(y=4\Rightarrow\left(x-8\right)^2=4\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=10\\x=6\end{matrix}\right.\)

\(y=2\Rightarrow\left(x-4\right)^2=4\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=6\\x=2\end{matrix}\right.\)

- Với \(\left(y-3\right)^2=4\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=5\\y=1\end{matrix}\right.\)

\(y=5\Rightarrow\left(x-10\right)^2=1\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=11\\x=9\end{matrix}\right.\)

\(y=1\Rightarrow\left(x-2\right)^2=1\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\\x=1\end{matrix}\right.\)

Em tự kết luận các cặp nghiệm

Chắc phải là cặp số nguyên chứ có vô số cặp x;y bất kì thỏa mãn pt này

x²+2y²-2xy-2y-2x+5=0

<=>(x²-2xy+y²-2x+2y+1)+(y²-4y+4)=0

<=>(x-y-1)²+(y-2)²=0

Do (x-y-1)²\(\ge\)0

(y-2)²\(\ge\)0

=>Phương trình tương đương \(\left\{{}\begin{matrix}x-y-1=0\\y-2=0\end{matrix}\right.\)

<=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=2\\x=3\end{matrix}\right.\)

\(x^2+2y^2-2xy-2y-2x+5=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy-2x+y^2+2y+1\right)+\left(y^2-4y+4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y-1\right)^2+\left(y-2\right)^2=0\)

Dễ thấy: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-y-1\right)^2\ge0\ge x,y\\\left(y-2\right)^2\ge0\forall y\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(x-y-1\right)^2+\left(y-2\right)^2\ge0\forall x,y\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-y-1\right)^2=0\\\left(y-2\right)^2=0\forall\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=2\end{matrix}\right.\)

\(x^2-2x+4y^2+8y+5=0\)

\(x^2-2x+1+4y^2+8y+4=0\)

\(\left(x-1\right)^2+4\times\left(y^2+2y+1\right)=0\)

\(\left(x-1\right)^2+4\times\left(y+1\right)^2=0\)

\(x-1=y+1=0\)

\(x=1;y=-1\)

\(P=\frac{1}{x^3\left(2y-x\right)}+x\left(2y-x\right)-x\left(2y-x\right)+x^2+y^2\)

\(P\ge\frac{2}{x}-2xy+2x^2+y^2\)

\(P\ge\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+x^2+\left(x-y\right)^2\ge3+\left(x-y\right)^2\ge3\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=1\)

Lời giải:

Với $x,y$ là các số thực dương, áp dụng BĐT Cauchy ta có:

\(x^2+y^2\geq 2xy\)

\(\Rightarrow \frac{1}{x^3(2y-x)}+x^2+y^2\geq \frac{1}{x^3(2y-x)}+2xy(1)\)

$2y>x$ nên $2y-x>0$. Tiếp tục áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương ta có:

\(\frac{1}{x^3(2y-x)}+2xy=\frac{1}{x^3(2y-x)}+x(2y-x)+x^2\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{x^3(2y-x)}.x(2y-x).x^2}=3(2)\)

Từ \((1);(2)\Rightarrow \frac{1}{x^3(2y-x)}+x^2+y^2\geq 3\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=1$