a) Để A có nghĩa thì : 
\(3x^3-x^2-3x+1\ne0\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(3x-1\right)-\left(3x-1\right)\ne0\)

\(\Leftrightarrow\left(3x-1\right)\left(x^2-1\right)\ne0\)

\(\Leftrightarrow\left(3x-1\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)\ne0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ne\frac{1}{3}\\x\ne1\\x\ne-1\end{cases}}\)

ĐKXĐ : \(\hept{\begin{cases}x\ne\frac{1}{3}&x\ne\pm1&\end{cases}}\)

\(a^3+b^3+c^3\ge3abc\)

\(\Leftrightarrow a^3+3a^2b+3ab^2+b^3+c^3-3a^2b-3ab^2-3abc\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b+c\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-c\left(a+b\right)+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2-3ab\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)\ge0\)

Bài thiếu điều kiện \(a+b+c\ge0\)

Dễ dàng chứng minh \(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\ge0\)nên ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a+b+c=0\\a=b=c=0\end{cases}}\)

Cách này có được không ta?

Đặt \(\left(a^3;b^3;c^3\right)\rightarrow\left(x;y;z\right)\) và thêm đk a,b,c>0

Chuẩn hóa x + y + z = 1 (*) thì ta cần chứng minh:

\(1\ge3\sqrt{xyz}\Leftrightarrow f\left(x;y;z\right)=1-27xyz\ge0\)

Ta nhận thấy nếu thay x và y bởi \(t=\frac{\left(x+y\right)}{2}\) thì (*) vẫn thỏa mãn.

Ta có: \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=t^2\)

Suy ra \(f\left(x;y;z\right)\ge1-27t^2z=f\left(t;t;z\right)\)

Thay x;y bởi \(t=\frac{\left(x+y\right)}{2}\) vào (*) suy ra được: \(z=1-2t\)

Khi đó ta cần chứng minh: \(f\left(t;t;z\right)=1-27t^2\left(1-2t\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow54t^3-27t^2+1\ge0\Leftrightarrow\left(6t+1\right)\left(3t-1\right)^2\ge0\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi x = y và t = 1/3 tương đương với x = y =z =1/3

Tương đương với x = y =z (do đầu bài ta chuẩn hóa x + y + z = 1)

Tức là a = b =c

Áp dụng Bđt Cô si 3 số dương ta có:

\(a^3+b^3+c^3\ge3\sqrt[3]{a^3b^3c^3}=3abc\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)

Đpcm

\(a^3+b^3+c^3-3abc\) \(=\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc\)

\(=\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-c\left(a+b\right)+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2+2ab-ca-bc-3ab\right)\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\)

Vậy \(a^3+b^3+c^3=3abc\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a+b+c=0\\a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a+b+c=0\\\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a+b+c=0\\a=b=c\end{matrix}\right.\)

Vậy để \(a^3+b^3+c^3=3abc\) thì \(a+b+c=0\) hoặc \(a=b=c\)

CMR:a³+b³+c³\(\ge\)3abc với a,b,c>0

+)Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si của ba số nguyên dương ta có:

a³+b³+c³\(\ge\)\(\sqrt[3^3]{a^3b^3c^3}\)

Mà \(\sqrt[3^3]{a^3b^3c^3}\)=3abc

=>a³+b³+c³\(\ge\)3abc

Bất đẳng thức xảy ra khi a=b=c(ĐPCM)

Chúc bn học tốt

C1 : Áp dụng BĐT Cô si cho ba số dương \(a^3,b^3,c^3\) ta được :

\(a^3+b^3+c^3\ge3\sqrt[3]{a^3.b^3.c^3}=3abc\) 

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)

C2 : ta xét hiệu : \(a^3+b^3+c^3-3abc\)

\(=\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\) (1)

Ta thấy \(\left(1\right)\ge0\) \(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge3abc\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)

\(a,\)\(đkxđ\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ne0\\x\ne-2\end{cases}}\)

\(A=\frac{3m^3+6m^2}{m^3+2m^2+m+2}=\frac{3m^2\left(m+2\right)}{m^2\left(m+2\right)+m+2}.\)

\(=\frac{3m^2\left(m+2\right)}{\left(m+2\right)\left(m^2+1\right)}=\frac{3m^2}{m^2+1}\)

Để \(A=3\Rightarrow\frac{3m^2}{m^2+1}=3\)

\(\Rightarrow3m^2=3\left(m^2+1\right)\)

\(\Rightarrow m^2=m^2+1\)

\(\Rightarrow0=1\)(vô lí )

Vậy không có giá trị nào của m để A = 3

a) A xác định khi \(m^3+2m^2+m+2\ne0\)

\(\Leftrightarrow m^2\left(m+2\right)+\left(m+2\right)\ne0\)\(\Leftrightarrow\left(m^2+1\right)\left(m+2\right)\ne0\)

\(\Rightarrow m+2\ne0\)\(\Rightarrow m\ne-2\)\(\RightarrowĐKXĐ:x\ne-2\)

b) \(A=\frac{3m^3+6m^2}{m^3+2m^2+m+2}=\frac{3m^2\left(m+2\right)}{\left(m^2+1\right)\left(m+2\right)}=\frac{3m^2}{m^2+1}\)

c) \(A=3\)\(\Leftrightarrow\frac{3m^2}{m^2+1}=3\)\(\Leftrightarrow3m^2=3\left(m^2+1\right)\)

\(\Leftrightarrow3m^2=3m^2+3\)\(\Leftrightarrow3m^2-3m^2=3\)\(\Leftrightarrow0=3\)(vô lý)

Vậy không có giá trị m thoả mãn A=3

\(giải:\)

\(a^3\)\(+b^3\)\(+c^3\)\(\ge3abc\)

\(\Rightarrow a^3\)\(+b^3\)\(+c^3\)\(-3abc\ge0\)

\(\Rightarrow a^3\)\(+b^3\)\(+c^3\)\(-3abc+3a^2b+3ab^2-3a^2b-3ab^2\ge0\)

\(\Rightarrow\left(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\right)+c^3-\left(3abc+3a^2b+3ab^2\right)\ge0\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(c+a+b\right)\ge0\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)c+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)\ge0\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)c+c^2-3ab\right]\ge0\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2-3ab\right)\ge0\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)\ge0\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)\left(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc\right)\ge0\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)\left[\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2\right]\ge0\)(luôn đúng \(\forall\)a,b,c\(\ge0\))

hay \(a^3+b^3+c^3\ge3abc\left(đpcm\right)\)

a) \(P=\dfrac{3}{x+3}+\dfrac{1}{x-3}-\dfrac{18}{9-x^2}\)

a) \(ĐKXĐ:\) x khác + 3

\(b,P=\dfrac{3\left(x-3\right)+x+3+18}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}\)

\(P=\dfrac{3x-9+x+3+18}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}\)

\(P=\dfrac{4x+12}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}\)

\(P=\dfrac{4\left(x+3\right)}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}\)

\(P=\dfrac{4}{x-3}\)

c) \(P=4=\dfrac{4}{x-3}=4=x-3=1=x=4\)

a: ĐKXĐ: \(x\notin\left\{3;-3\right\}\)

b: \(P=\dfrac{3x-9+x+3+18}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}=\dfrac{4x+12}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}=\dfrac{4}{x-3}\)

c: Để P=4 thì x-3=1

hay x=4