\(ĐK:sinx-cosx\ne-2\)

\(< =>2y-1=sinx\left(1-y\right)+cosx\left(y+3\right)\)

Theo Bunhiacopxki:

\(\left[sinx\left(1-y\right)+cosx\left(y+3\right)\right]^2\)\(\le\left(sin^2x+cos^2x\right)\left[\left(1-y\right)^2+\left(y+3\right)^2\right]\)

\(< =>\left(2y-1\right)^2\le2y^2+4y+10\)

\(< =>2y^2-8y-9\le0\)

=> Bấm máy tìm Max, Min của y

(Sry máy tính của t bị ngáo không bấm ra)

\(\Rightarrow y.sinx-y.cosx+2y=sinx+3cosx+1\)

\(\Rightarrow\left(y-1\right)sinx-\left(y+3\right)cosx=1-2y\)

Theo điều kiện có nghiệm của pt lượng giác bậc nhất

\(\Rightarrow\left(y-1\right)^2+\left(y+3\right)^2\ge\left(1-2y\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2y^2-8y-9\le0\)

\(\Rightarrow\dfrac{4-\sqrt{34}}{2}\le y\le\dfrac{4+\sqrt{34}}{2}\)

\(y_{max}=\dfrac{4+\sqrt{34}}{2}\) ; \(y_{min}=\dfrac{4-\sqrt{34}}{2}\)

\(y=\sqrt{\left(sinx+cosx\right)^2+2\cdot sinx\cdot cosx+2}\)

\(=\sqrt{1+2sinx\cdot cosx+2\cdot sinx\cdot cosx+2}\)

\(=\sqrt{3+2sin2x}\)

\(-1< =sin2x< =1\)

=>\(-2< =2\cdot sin2x< =2\)

=>\(-2+3< =2\cdot sin2x+3< =5\)

=>\(1< =2\cdot sin2x+3< =5\)

=>\(1< =\sqrt{2\cdot sin2x+3}< =\sqrt{5}\)

=>\(1< =y< =\sqrt{5}\)

\(y_{min}=1\) khi \(sin2x=-1\)

=>\(2x=-\dfrac{\Omega}{2}+k2\Omega\)

=>\(x=-\dfrac{\Omega}{4}+k\Omega\)

\(y_{max}=\sqrt{5}\) khi sin 2x=1

=>\(2x=\dfrac{\Omega}{2}+k2\Omega\)

=>\(x=\dfrac{\Omega}{4}+k\Omega\)

Đáp án B

\(y=sinx+cosx=\sqrt{2}sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\)

\(sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\in\left[-1;1\right]\Rightarrow y=\sqrt{2}sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\in\left[-\sqrt{2};\sqrt{2}\right]\)

\(\Rightarrow y_{max}=\sqrt{2},y_{min}=-\sqrt{2}\)

Làm sao để suy từ dấu bằng thứ nhất ra dấu bằng thứ 2 nhanh chóng được thế ạ?

a, \(y=sin^2x-2sinx+3cos^2x\)

\(=sin^2x-2sinx+3\left(1-sin^2x\right)\)

\(=3-2sinx-2sin^2x\)

Đặt \(sinx=t\left(t\in\left[0;1\right]\right)\)

\(\Rightarrow y=f\left(t\right)=3-2t-2t^2\)

\(\Rightarrow y_{min}=min\left\{f\left(0\right);f\left(1\right)\right\}=-1\)

\(y_{max}=max\left\{f\left(0\right);f\left(1\right)\right\}=3\)

b, \(y=sinx-cosx+sin2x+5\)

\(=sinx-cosx-\left(sinx-cosx\right)^2+6\)

Đặt \(sinx-cosx=t\left(t\in\left[-\sqrt{2};\sqrt{2}\right]\right)\)

\(\Rightarrow y=f\left(t\right)=-t^2+t+6\)

\(\Rightarrow y_{min}=min\left\{f\left(-\sqrt{2}\right);f\left(0\right)\right\}=4-\sqrt{2}\)

\(y_{max}=max\left\{f\left(-\sqrt{2}\right);f\left(0\right)\right\}=6\)

1. Không dịch được đề

2.

\(-1\le cos2x\le1\Rightarrow1\le y\le3\)

3.

a. \(-2\le2sinx\le2\Rightarrow-1\le y\le3\)

\(y_{min}=-1\) khi \(sinx=-1\Rightarrow x=-\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\)

\(y_{max}=3\) khi \(sinx=1\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\)

b.

\(0\le cos^2x\le1\Rightarrow-1\le y\le2\)

\(y_{min}=-1\) khi \(cos^2x=1\Rightarrow x=k\pi\)

\(y_{max}=2\) khi \(cosx=0\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\)

4.

\(y=\left(tanx-1\right)^2+2\ge2\)

\(y_{min}=2\) khi \(tanx=1\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi\)

Xét  − sin x + 2 cos x + 4 = 0

Ta thấy − 1 2 + 2 2 < 4 2  nên phương trình vô nghiệm.

Do đó − sin x + 2 cos x + 4 ≠ 0 .

Như vậy,  y = 2 sin x + cos x + 3 − sin x + 2 cos x + 4

⇔ y − sin x + 2 cos x + 4 = 2 sin x + cos x + 3

⇔ sin x 2 + y + cos x 1 − 2 y + 3 − 4 y = 0

Để phương trình có nghiệm thì  2 + y 2 + 1 − 2 y 2 ≥ 3 − 4 y 2

⇔ 5 y 2 + 5 ≥ 16 y 2 − 24 y + 9

⇔ 11 y 2 − 24 y + 4 ≤ 0

⇔ 2 11 ≤ y ≤ 2

Chọn đáp án D.