Lời giải:

$y=\frac{x^2+3}{x^2-x+2}$
$\Leftrightarrow y(x^2-x+2)=x^2+3$

$\Leftrightarrow x^2(y-1)-xy+(2y-3)=0(*)$

Coi đây là pt bậc 2 ẩn $x$. Vì $y$ tồn tại nên $(*)$ luôn có nghiệm

$\Rightarrow \Delta=y^2-4(y-1)(2y-3)\geq 0$

$\Leftrightarrow -7y^2+20y-12\geq 0$

$\Leftrightarrow (7y-6)(2-y)\geq 0$

$\Leftrightarrow \frac{6}{7}\leq y\leq 2$

Vậy $y_{\min}=\frac{6}{7}; y_{\max}=2$

\(A=\left(x-1\right)\left(x+3\right)\left(x+2\right)\left(x+6\right)=\left(x^2+5x-6\right)\left(x^2+5x+6\right)=\left(x^2+5x\right)^2-36\ge-36\)

\(minA=-56\Leftrightarrow x^2+5x=0\Leftrightarrow x\left(x+5\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-5\end{matrix}\right.\)

\(B=4x-x^2+1=-\left(x^2-4x+4\right)+5=-\left(x-2\right)^2+5\le5\)

\(maxB=5\Leftrightarrow x=2\)

MinA=0

⇔x=1 hoặc x=-3 hoặc x=-2 hặc x=-6

B\(=-x^2+2x+1+2x\)

\(=-\left(x^2-2x+1\right)+2\left(1+x\right)\)

\(=-\left(x-1\right)^2-2\left(x-1\right)\)

• \(B=\left(4x^2+3y\right)\left(4y^2+3x\right)+25xy=16x^2y^2+12\left(x^3+y^3\right)+34xy\)

\(=16x^2y^2+12\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+34xy\)

\(=16x^2y^2+12\left[\left(x+y\right)^2-2xy\right]+22xy\)

\(=16x^2y^2-2xy+12\)

Đặt \(t=xy\) thì \(B=16t^2-2t+12=16\left(t-\frac{1}{16}\right)^2+\frac{191}{16}\ge\frac{191}{16}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x+y=1\\xy=\frac{1}{16}\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=\frac{2+\sqrt{3}}{4}\\y=\frac{2-\sqrt{3}}{4}\end{cases}}\) hoặc \(\hept{\begin{cases}x=\frac{2-\sqrt{3}}{4}\\y=\frac{2+\sqrt{3}}{4}\end{cases}}\)

Vậy min B \(=\frac{191}{16}\) khi \(\left(x;y\right)=\left(\frac{2+\sqrt{3}}{4};\frac{2-\sqrt{3}}{4}\right);\left(\frac{2-\sqrt{3}}{4};\frac{2+\sqrt{3}}{4}\right)\)

• Như trên ta có : \(B=16\left(xy-\frac{1}{16}\right)^2+\frac{191}{16}\)

Mặt khác, áp dụng BĐT Cauchy , ta có : \(1=x+y\ge2\sqrt{xy}\Rightarrow xy\le\frac{1}{4}\)

Suy ra : \(B\le16\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{16}\right)^2+\frac{191}{16}=\frac{25}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi x = y = 1/2

Vậy max B = 25/2 khi (x;y) = (1/2;1/2)

XD moi x

\(yx^2+y=x^2+3x+5\Leftrightarrow\left(y-1\right)x^2-3x+\left(y-5\right)=0\)

dat y-1=a cho gon

\(ax^2-3x+\left(a-4\right)=0\)(1)

tim DK a de phuong trinh tren(1) co nghiem

a=0=>-3x-4=0=> x=4/3

voi a \(\ne0\)(1) phuong trinh bac 2

=>delta(x)=3^2-4a.(a-4)\(\ge0\) 

\(\Leftrightarrow9-4a^2+16a\ge0\Leftrightarrow4a^2-16a-9\le0\)

delta"(a)=4^2-4.(-9)=16+36=52=4.13

\(\orbr{\begin{cases}a_1=\frac{4-2\sqrt{13}}{4}=1-\frac{\sqrt{13}}{2}\\a_2=\frac{4+2\sqrt{13}}{4}=1+\frac{\sqrt{13}}{2}\end{cases}}\)

\(\left(1-\frac{\sqrt{13}}{2}\right)\le a\le1+\frac{\sqrt{13}}{2}\)

\(1-\frac{\sqrt{13}}{2}\le y-1\le1+\frac{\sqrt{13}}{2}\)

\(2-\frac{\sqrt{13}}{2}\le y\le2+\frac{\sqrt{13}}{2}\)

GTNN :\(A=\frac{\left(2x^2+2\right)+\left(x^2-2x+1\right)}{x^2+1}=2+\frac{\left(x-1\right)^2}{x^2+1}\ge2\forall x\) có GTNN là 2

GTLN : \(A=\frac{\left(4x^2+4\right)-\left(x^2+2x+1\right)}{x^2+1}=4-\frac{\left(x+1\right)^2}{x^2+1}\le4\forall x\) có GTLN là 4

toán 12 nha

Ta có:

\(x^2-4x+8=\left(x^2-4x+4\right)+4=\left(x-2\right)^2+4\ge4\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x^2-4x+8}\le\frac{1}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=2\)

Bài toán không có giá trị nhỏ nhất.Giải toán có sự trợ giúp của Wolfram|Alpha