Với các bài toán tìm max, min 2 biến kiểu như thế này, em hay cố gắng nhân M lên n lần để tạo thêm được các số hạng, sang đó ghép tạo thành các bình phương.

Cách làm như sau:

\(4M=4a^2+4ab+4b^2-12a-12b+8004\)

\(=\left(4a^2+4ab+b^2\right)-6\left(2a+b\right)+3\left(b^2-2b\right)+8004\)

\(=\left(2a+b\right)^2-6\left(2a+b\right)+9+3\left(b^2-2b+1\right)+7992\)

\(=\left(2a+b-3\right)^2+3\left(b-1\right)^2+7992\ge7992\)

Vậy 4M min = 7992, vây M min = 1998.

Vậy min M = 1998 khi \(\hept{\begin{cases}b-1=0\\2a+b-3=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}b=1\\a=1\end{cases}}\)

Lời giải:

Ta có:
\(4M=4a^2+4ab+4b^2-12a-12b+8052\)

\(=(4a^2+4ab+b^2)+3b^2-12a-12b+8052\)

\(=(2a+b)^2-6(2a+b)+9+3b^2-6b+8043\)

\(=[(2a+b)^2-6(2a+b)+9]+3(b^2-2b+1)+8040\)

\(=(2a+b-3)^2+3(b-1)^2+8040\)

\(\geq 0+3.0+8040=8040\)

\(\Rightarrow M\geq \frac{8040}{4}=2010\)

Vậy \(M_{\min}=2010\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2a+b-3=0\\ b-1=0\end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=1\\ b=1\end{matrix}\right.\)

https://vn.answers.yahoo.com/question/index?qid=20100903224130AAhmqxW

Lời giải:

a)

Ta có \(x(x+1)+5=x^2+x+5=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{19}{4}\)

Vì \(\left(x+\frac{1}{2}\right)^2\geq 0\forall x\in\mathbb{R}\Rightarrow x(x+1)+5\geq 0+\frac{19}{4}=\frac{19}{4}\)

Do đó \((x^2+x+5)_{\min}=\frac{19}{4}\Leftrightarrow x=\frac{-1}{2}\)

b)

\(M=a^2+ab+b^2-3a-3b+2013\)

\(\Rightarrow 2M=2a^2+2ab+2b^2-6a-6b+4026\)

\(\Leftrightarrow 2M=(a+b-2)^2+(a-1)^2+(b-1)^2+4020\)

Thấy \(\left\{\begin{matrix} (a+b-2)^2\geq 0\\ (a-1)^2\geq 0\\ (b-1)^2\geq 0\end{matrix}\right.\Rightarrow 2M\geq 4020\Rightarrow M\geq 2010\)

Vậy \(M_{\min}=2010\Leftrightarrow a=b=1\)

thank you

GTNN = -10

cách làm

M = ...

= 2(a²+b²)+a²+b²+c²

= 2(a²+b²)+(a+b+c)²-2(ab+bc+ac) (1)

mà ab+bc+ac=5

=> (1) = 2(a²+b²)+(a+b+c)²-10

có a² và b² \(\ge\) 0

2 >0

(a+b+c)² \(\ge\) 0

=> (1) \(\ge\) -10

=> M min = -10

hơi sơ sài nhỉ, ko hiểu thì hỏi, tôi chỉ cho

mình cảm ơn nha

\(F=a^2+ab+b^2-3a-3b+3\)

\(=\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)+\left(ab-a-b+1\right)\)

\(=\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(a-1\right)\left(b-1\right)\)

\(=\left[\left(a-1\right)^2+\left(a-1\right)\left(b-1\right)+\frac{1}{4}\left(b-1\right)^2\right]+\frac{3}{4}\left(b-1\right)^2\)

\(=\left[\left(a-1\right)+\frac{1}{2}\left(b-1\right)\right]^2+\frac{3}{4}\left(b-1\right)^2\)

Ta thấy \(\left[\left(a-1\right)+\frac{1}{2}\left(b-1\right)\right]^2\ge0\) và \(\frac{3}{4}\left(b-1\right)^2\ge0\) với mọi a;b

Nên \(A=\left[\left(a-1\right)+\frac{1}{2}\left(b-1\right)\right]^2+\frac{3}{4}\left(b-1\right)^2\ge0\forall a;b\) có GTNN là 0

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=1\)

\(4F=4a^2+4ab+4b^2-12a-12b+12\)

\(=\left(4a^2+b^2+4+4ab-12a-6b\right)+\left(3b^2-6b+3\right)\)

\(=\left(2a+b-2\right)^2+3\left(b-1\right)^2\)

vì \(\left(2a+b-2\right)^2\ge0\forall a,b\)

\(3\left(b-1\right)^2\ge0\forall b\)

\(\Rightarrow4F\ge0\forall a,b\Rightarrow F\ge0\forall a,b\)

\(\Rightarrow GTNN\)của F là 0 \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}b-1=0\\2a+b-3=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}b=1\\a=1\end{cases}}\)

Ta có 4M = 4a² + 4ab + 4b² - 12a - 12b + 8052

= (4a² + 4ab + b²) - 6(2a + b) + 9 + 3b² - 6b + 3 + 8040

= (2a + b)² - 6(a + b) + 9 + 3(b² - 2b + 1) + 8040 

= (2a + b - 3)² + 3(b - 1)² + 8040 \(\ge\)8040

=> Min 4M = 8040

=> Min M = 2010

Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}2a+b-3=0\\b-1=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=1\\b=1\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=1\)

Vạy Min M = 2010 <=> a = b = 1

Lời giải:
Gọi biểu thức trên là $A$

$4A=4a^2+4ab+4b^2-12a-12b+8064$

$=(4a^2+4ab+b^2)+3b^2-12a-12b+8064$

$=(2a+b)^2-6(2a+b)+(3b^2-6b)+8064$

$=(2a+b)^2-6(2a+b)+9+3(b^2-2b+1)+8052$

$=(2a+b-3)^2+3(b-1)^2+8052\geq 8052$

$\Rightarrow A\geq 2013$

Vậy $A_{\min}=2013$