"Để giá trị lớn nhất của hàm số f(x) đạt giá trị nhỏ nhất" ??

Câu hỏi của Huyên Diệp Minh

Ta có: \(f\left(x\right)=\sqrt{7-2x}+\sqrt{3x+4}\)

Điều kiện: \(-\dfrac{4}{3} \leq x \le \dfrac{7}{2}\)

\({y^2} = {\left( {\sqrt {7 - 2x} + \sqrt {3x + 4} } \right)^2} = x + 11 + 2\sqrt {\left( {7 - 2x} \right)\left( {3x + 4} \right)} = \dfrac{1}{3}\left( {3x + 4} \right) + 2\sqrt {\left( {7 - 2x} \right)\left( {3x + 4} \right)} + \dfrac{{29}}{3}\)

Vì: \(\left\{{}\begin{matrix}3x+4\ge0\\\sqrt{\left(7-2x\right)\left(3x+4\right)}\ge0\end{matrix}\right.\) \(\forall x \in \left[ { - \dfrac{4}{3};\dfrac{7}{2}} \right] \Rightarrow {f^2}\left( x \right) \ge \dfrac{{29}}{3} \Rightarrow f\left( x \right) \ge \dfrac{{\sqrt {87} }}{3}\)

Dấu \("="\) xảy ra \(\Leftrightarrow x=-\dfrac{4}{3}\). Vậy \(m=\dfrac{\sqrt{87}}{3}\)

\(f\left(x\right)=3x+\frac{2}{\left(2x+1\right)^2}=\frac{3}{4}\left(2x+1\right)+\frac{3}{4}\left(2x+1\right)+\frac{2}{\left(2x+1\right)^2}-\frac{3}{2}\)

\(\ge3\sqrt[3]{\left[\frac{3}{4}\left(2x+1\right)\right]^2.\frac{2}{\left(2x+1\right)^2}}-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\sqrt[3]{9}-\frac{3}{2}\)

Dấu \(=\)khi \(\frac{3}{4}\left(2x+1\right)=\frac{2}{\left(2x+1\right)^2}\Leftrightarrow\left(2x+1\right)^3=\frac{8}{3}\Leftrightarrow x=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}-\frac{1}{2}\).

ĐKXĐ : \(-1\le x\le3\)

- ADbu nhi : \(\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{3-x}\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(\left(\sqrt{x+1}\right)^2+\left(\sqrt{3-x}\right)^2\right)\)

\(=2\left(x+1+3-x\right)=2.4=8\)

\(\Rightarrow\sqrt{x+1}+\sqrt{3-x}\le\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)

- Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\dfrac{1}{\sqrt{x+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{3-x}}\)

\(\Leftrightarrow x+1=3-x\)

\(\Leftrightarrow x=1\left(TM\right)\)

\(\Rightarrow Max_{f\left(x\right)}=2\sqrt{2}\) tại x = 1.

- Có : \(\sqrt{x+1}+\sqrt{3-x}\ge\sqrt{x+1+3-x}=\sqrt{4}=2\)

- Dấu " = " xảy ra <=> x = -1 ( TM )

\(\Rightarrow Min_{f\left(x\right)}=2\) tại x = - 1 .

A là đáp án đúng!

Mấy cái bước suy ra ≥;≤ là có công thức hay là định lý gì không ạ ?

ĐKXĐ : \(-2\le x\le7\)

- Áp dụng BĐT bunhiacopxky có :

\(y^2=\left(\sqrt{x+2}+\sqrt{7-x}\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(x+2+7-x\right)=18\)

\(\Leftrightarrow y\le3\sqrt{2}\)

- Dấu " = " xảy ra <=> \(\sqrt{x+2}=\sqrt{7-x}\)\(\Leftrightarrow x=\dfrac{5}{2}\)

-Lại có : \(y=\sqrt{x+2}+\sqrt{7-x}\ge\sqrt{x+2+7-x}=3\)

- Dấu " = " xảy ra <=> \(\sqrt{\left(x+2\right)\left(x-7\right)}=0\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-2\\x=7\end{matrix}\right.\)

Vậy ...