Bằng 0=

Do \(x,y\inℤ^+\) nên \(x,y\ge1\)

\(2^x+1=3^y\).Dễ thấy \(x\le y\).Đặt \(y=x+m\left(m\ge0\right)\) và \(m=y-x\)

Ta có: \(2^x+1=3^{x+m}\)

+Với \(x=y=1\Rightarrow2^1+1=3^{1+0}\left(TM\right)\)

+Với \(1\le x< y\Rightarrow3\le2^x+1< 2^y+1< 3^y\left(KTM\right)\)

Vậy \(x=y=1\) (p/s: không chắc cho lắm,tui mới học lớp 7 thoy)

À mà bỏ cái "Đặt \(y=x+m\left(m\ge0\right)\) và m = y - x

Ta có: \(2^x+1=2^{x+m}\)"

Thay thành:"Ta có: \(2^x+1=2^y\)" .Làm xong rồi mới thấy một số chi tiết cần bỏ đi.

1) Đặt P = (a-1)/a +(b-1)/b+(c-4)/c 
Dễ thấy P = 3 - (1/a + 1/b + 4/c) 
Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki : 
(1/a + 1/b + 4/c)(a + b + c) <= [căn(1/a).căn a + căn(1/b).căn b + căn(4/c).căn c]^2 = (1 + 1 + 2)^2 = 16 
=> 1/a + 1/b + 4/c <= 16/6 = 8/3 

Suy ra : P >= 3 - 8/3 = 1/3 
Min P = 3 <=> a = b = 3/2 và c = 3 


2) Đặt P = (a+1)/[√(a⁴+a+1) -a²] = {(a + 1).[√(a⁴+a+1) + a²]} / (a^4 + a + 1 - a^2) = (a + 1).[√(a⁴+a+1) + a²]/(a + 1) = √(a⁴+a+1) + a² (nhân liên hợp) 
Ta có : 4a^2 + a√2 -√2 = 0 
=> a^2 = (√2 - a√2)/4 = (1 - a)/(2√2) 
=> a^4 = (1 - 2a + a^2)/8 
Do đó P = √[(1 - 2a + a^2)/8 + a + 1] + (1 - a)/(2√2) = √[(a^2 + 6a + 9)/8] + (1 - a)/(2√2) = (a + 3)/(2√2) + (1 - a)/(2√2) = √2 (đpcm)

có phải là \(\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}+\frac{c}{c^2+1}\)

Bài 3:

\(\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\ge\dfrac{4}{xy}\)

\(\Leftrightarrow x^2y^2\left(\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\right)\ge\dfrac{4}{xy}.x^2y^2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2y^2}{\left(x-y\right)^2}+x^2+y^2\ge4xy\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2y^2}{\left(x-y\right)^2}+x^2-2xy+y^2\ge2xy\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{xy}{x-y}\right)^2+\left(x-y\right)^2\ge2xy\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{xy}{x-y}\right)^2-2xy+\left(x-y\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{xy}{x-y}-x+y\right)^2=0\) (luôn đúng)

-Tham khảo:

Giúp mình với mình tick cho

1. Ta có : \(\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)^2\ge0\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge\frac{2}{ab}\)

Tương tự :  \(\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{2}{bc}\); \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{2}{ac}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\). Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)a = b = c

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)=9\)

\(9\le3\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)\(\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge3\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)a = b = c = 1

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=7\)\(\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)=49\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2.\frac{a+b+c}{abc}=49\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=49\)