A = \(\left(x+z\right)\left(y+t\right)\)

A = xy + xt + yz + zt

Áp dụng BĐT Cô - si : a² + b² ≥ 2ab ( a > 0 ; b > 0)

Ta có : x² + y² ≥ 2xy ( x > 0 ; y > 0) ( 1)

x² + t² ≥ 2xt ( x > 0 ; t > 0) ( 2)

y² + z² ≥ 2yz ( y > 0 ; z > 0) ( 3)

z² + t² ≥ 2zt ( z > 0 ; t > 0) ( 4)

Cộng từng vế của ( 1 ; 2 ; 3 ; 4 )

⇒ 2A ≤ 2( x² + y² + z² + t²)

⇔ A ≤ 1

⇒ A_MAX = 1 ⇔ x = y = z = t = +- \(\dfrac{1}{2}\)

Cảm ơn nhiều

a) $A=\left(x+z\right)\left(y+t\right)$

$=\; xy+xt+zy+zt$

Áp dụng bất đẳng thức cô si cho 2 số ta có

x²+y² ≥ 2\(\sqrt{x^2y^2}\)

⇔x²+y² ≥ 2xy

TT ta có

x²+t² ≥ 2xt

y²+z² ≥ 2yz

z²+t² ≥ 2zt

cộng vế vs vế ta có

=> x²+y²+x²+t²+y²+z²+t² ≥ 2xy+2xt+2yz+2zt

⇔ 2(x²+y²+z²+t²) ≥ 2(xy+xt+yz+zt)

⇔ 2 .1 ≥2 A

⇔ 1≥ A

⇔ A ≤ 1

=> Max A =1 dấu "=" xảy ra khi x=y=t=z= \(\pm\dfrac{1}{2}\)

Câu b)

Đây là bài toán quen thuộc của dạng toán xác định điểm rơi trong BĐT Cô-si:

Áp dụng BĐT Cô-si:

\(\frac{2}{3}x^2+\frac{2}{3}y^2\geq 2\sqrt{\frac{2}{3}x^2.\frac{2}{3}y^2}=\frac{4}{3}|xy|\geq \frac{4}{3}xy\)

\(\frac{1}{3}x^2+\frac{4}{3}t^2\geq 2\sqrt{\frac{1}{3}x^2.\frac{4}{3}t^2}=\frac{4}{3}|xt|\geq \frac{4}{3}xt\)

\(\frac{1}{3}y^2+\frac{4}{3}z^2\geq 2\sqrt{\frac{1}{3}y^2.\frac{4}{3}z^2}=\frac{4}{3}|yz|\geq \frac{4}{3}yz\)

\(\frac{2}{3}z^2+\frac{2}{3}t^2\geq 2\sqrt{\frac{2}{3}z^2.\frac{2}{3}t^2}=\frac{4}{3}|zt|\geq \frac{4}{3}zt\)

Cộng theo vế các BĐT thu được và rút gọn:

\(\Rightarrow x^2+y^2+2z^2+2t^2\geq \frac{4}{3}(xy+xt+yz+zt)\)

\(\Leftrightarrow \frac{4}{3}(xy+xt+yz+zt)\leq 1\)

\(\Leftrightarrow B=(x+z)(y+t)\leq \frac{3}{4}\) hay $B_{\max}=\frac{3}{4}$

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=2z=2t\Leftrightarrow (x,y,z,t)=\left(\frac{1}{\pm \sqrt{3}}; \frac{1}{\pm\sqrt{3}}; \frac{1}{\pm 2\sqrt{3}}; \frac{1}{\pm 2\sqrt{3}}\right)\)

Ta có: A = (x+z)(y+t) = xy+zy+xt+zt

Áp dụng BĐT Cô-si, có:

x^2 + y^2 >= 2xy

y^2 + z^2 >= 2yz

z^2 + t^2 >= 2zt

t^2 + x^2 >= 2yt

=> 2(xy+yz+zt+tx) <= 2(x^2+y^2+z^2+t^2)

=>xy+yz+zt+tx <= x^2+y^2+z^2+t^2 = 1

Vậy max A = 1 khi x^2=y^2=z^2=t^2=1/4

3) Ta có: \(A=3x^2-6x+1\)

\(=3\left(x^2-2x+\frac{1}{3}\right)\)

\(=3\left(x^2-2x+1-\frac{2}{3}\right)\)

\(=3\left(x-1\right)^2-2\)

Ta có: \(\left(x-1\right)^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow3\left(x-1\right)^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow3\left(x-1\right)^2-2\ge-2\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi x-1=0

hay x=1

Vậy: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A=3x^2-6x+1\) là -2 khi x=1

4) Sửa đề: \(\left(a+2\right)^2-\left(a-2\right)^2\)

Ta có: \(\left(a+2\right)^2-\left(a-2\right)^2\)

\(=\left(a+2-a+2\right)\left(a+2+a-2\right)\)

\(=4\cdot2a⋮4\)(đpcm)

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cauchy cho các số không âm ta có:

\(\frac{2}{3}x^2+\frac{2}{3}y^2\geq 2.\sqrt{\frac{2}{3}x^2.\frac{2}{3}y^2}=2|\frac{2}{3}xy|\geq \frac{4}{3}xy\)

\(\frac{1}{3}x^2+\frac{4}{3}t^2\geq 2|\frac{2}{3}xt|\geq \frac{4}{3}xt\)

\(\frac{1}{3}y^2+\frac{4}{3}z^2\geq 2|\frac{2}{3}yz|\geq \frac{4}{3}yz\)

\(\frac{2}{3}z^2+\frac{2}{3}t^2\geq 2|\frac{2}{3}zt|\geq \frac{4}{3}zt\)

Cộng theo vế và rút gọn:

\(\Rightarrow x^2+y^2+2z^2+2t^2\geq \frac{4}{3}(xy+xt+yz+zt)\)

\(\Leftrightarrow 1\geq \frac{4}{3}(x+z)(y+t)\)

\(\Leftrightarrow A=(x+z)(y+t)\leq \frac{3}{4}\)

Vậy \(A_{\max}=\frac{3}{4}\)