Tìm GTNN của biểu thức:

a) A = |x+5|+|x+17|

Giải

Ta có : A = |x+5|+|x+17| \(\ge\) |x+5+x+17|

A = |-x-5|+|x+17| \(\ge\) |-x-5+x+17| = | -12 | = 12

Dấu bằng xảy ra khi - 17 \(\le\) x \(\le\) -5

Vậy Min_A=12 khi - 17 \(\le\) x \(\le\) -5

b) B = |x+8|+|x+13|+|x+50|

Giải

B = |x+8|+|x+13|+|x+50| \(\ge\) (| x+8|+|-50-x |)+|x+13|

= (| x+8-50-x |)+|x+13|

= |-42| + |x+13|

= 42 + |x+13| \(\ge\) 42

Vậy Min_B = 42 khi và chỉ khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}x+8\ge0\\x+13=0\\x+50\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge-8\\x=-13\\x\ge-50\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=-13\)

c) C = |x+5|+|x+2|+|x−7|+|x−8|

Giải

C = |x+5|+|x+2|+|x−7|+|x−8|

\(\ge\) |x+5| + |x+2| + |7-x| + |8-x|

\(\ge\) |x+5+7-x| + |x+2+8-x|

\(\ge\) |12| + |10|

\(\ge\) 12 + 10 \(\ge\) 22

Vậy Min_C = 22 khi và chỉ khi :

-5 \(\le\) x \(\le\) 8 và -2 \(\le\) x \(\le\) 7 \(\Leftrightarrow\) -2 \(\le\) x \(\le\) 7

d) D = |x+3|+|x−2|+|x−5|

Giải

D = |x+3|+|x−2|+|x−5|

Tìm GTNN của biểu thức:

a) A = |x+5|+|x+17|

Giải

Ta có : A = |x+5|+|x+17| |x+5+x+17|

A = |-x-5|+|x+17| |-x-5+x+17| = | -12 | = 12

Dấu bằng xảy ra khi - 17 x -5

Vậy MinA=12 khi - 17 x -5

b) B = |x+8|+|x+13|+|x+50|

Giải

B = |x+8|+|x+13|+|x+50| (| x+8|+|-50-x |)+|x+13|

= (| x+8-50-x |)+|x+13|

= |-42| + |x+13|

= 42 + |x+13| 42

Vậy MinB = 42 khi và chỉ khi:

x = −13 .Vậy x=-13

x ≥ −50

c) C = |x+5|+|x+2|+|x−7|+|x−8|

Giải

C = |x+5|+|x+2|+|x−7|+|x−8|

=> |x+5| + |x+2| + |7-x| + |8-x|

|x+5+7-x| + |x+2+8-x| = |12| + |10| =12 + 10 = 22

Vậy MinC = 22 khi và chỉ khi :

-5 x 8 và -2 x 7 -2 x 7

Vì | x-1| ; |x+2|; |x-3| ; |x+4| ; |x-5|; |x+6| ; |x-7| ; |x+8| ; |x-9| luôn luôn < hoặc = 0

vì vậy min của T =0

\(T=|x-1|+|x+2|+|x-3|+|x+4|+|x-5|+|x+6|+|x-7|+|x+8|+|x-9|\)

\(\Rightarrow T=|x-1|+|x+2|+|3-x|+|x+4|+|5-x|+|x+6|+|7-x|+|x+8|+|9-x|\)

\(\Rightarrow T\ge|x-1+x+2+3-x+x+4+5-x+x+6+7-x+x+8+9-x|\)

\(\Rightarrow T\ge|43|\)

\(\Rightarrow T\ge43\)

Vậy \(Min_T=43\)

a) Ta có ;

|x - 23| + |x - 10| <=> |23 - x| + |x - 10|

|23 - x| + |x - 10| \(\ge\left|23-x+x-10\right|=13\)

=> Min = 13

Mấy câu kia chuyển đổi tý , xong là áp dụng BĐT |a| + |b| \(\ge\) |a + b| là được

a) Ta có :

\(\left|x-23\right|\ge0;\left|x-10\right|\ge0\)

\(\Rightarrow\left|x-23\right|+\left|x-10\right|\ge0\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x-23=0\) và \(x-10=0\)

=> x = 23 và x= 10

Vậy Biểu thức \(\left|x-23\right|+\left|x-10\right|\) đạt GTNN ki x = 23 và x=10

b) ,c) Tương tự nha bạn Bảo Trâm

a) \(A=\left|x-1\right|+\left|x-2\right|+2016\)

\(=\left|x-1\right|+\left|2-x\right|+2016\)

Áp dụng bđt \(\left|A\right|+\left|B\right|\ge\left|A+B\right|\) ta có:

\(\left|x-1\right|+\left|2-x\right|\ge\left|x-1+2-x\right|=1\)

=> \(\left|x-1\right|+\left|2-x\right|+2016\ge1+2016=2017\)

Vậy GTNN của A là 2017 khi \(\begin{cases}x-1\ge0\\2-x\ge0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}x\ge1\\x\le2\end{cases}\)\(\Leftrightarrow1\le x\le2\)

b) \(B=\left|x-1\right|+\left|x-2\right|+\left|x-3\right|\)

Có: \(\left|x-1\right|+\left|x-3\right|=\left|x-1\right|+\left|3-x\right|\ge\left|x-1+3-x\right|=2\) (1)

Ta lại có: \(\left|x-2\right|\ge0\) (2)

Từ (1)(2) suy ra: \(B\ge2\)

Vậy GTNN của B là 1 khi \(\begin{cases}x-1\ge0\\3-x\ge0\\x=2\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}x\ge1\\x\le3\\x=2\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}1\le x\le3\\x=2\end{cases}\)\(\Leftrightarrow x=2\)

a) Ta có:

\(\left|x-1\right|+\left|x-2\right|=\left|x-1\right|+\left|2-x\right|\)

\(\Rightarrow\left|x-1\right|+\left|x-2\right|\ge\left|x-1+2-x\right|\)

\(\Rightarrow\left|x-1\right|+\left|x-2\right|+2016\ge\left|x-1+2-x\right|+2016\)

hay \(A\ge\left|1\right|+2016=1+2016=2017\)

=> \(A\ge2017\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left[\begin{matrix}x-1=0\\x-2=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[\begin{matrix}x=1\\x=2\end{matrix}\right.\)

Vậy với \(x\in\left\{1;2\right\}\) thì A đạt GTNN và A=2017.

b) Ta có:

\(\left|x-1\right|+\left|x-2\right|+\left|x-3\right|=\left|x-1\right|+\left|x-2\right|+\left|3-x\right|\)

hay \(B=\left|x-1\right|+\left|x-2\right|+\left|3-x\right|\ge\left|x-1+x-2+3-x\right|\)

\(\Rightarrow B\ge\left|x\right|\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left[\begin{matrix}x-1=0\\x-2=0\\x-3=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[\begin{matrix}x=1\\x=2\\x=3\end{matrix}\right.\) (1)

Để B nhỏ nhất

=> |x| phải nhỏ nhất (2)

Từ (1) và (2)

=> x=1

khi đó:

B=|x|=|1|=1

Vậy với x=1 thì B đạt GTNN và B=1.

\(A=|x-1|+|x-2|+|x-3|=\left(|x-1|+|3-x|\right)+|x-2|\) \(\ge|x-1+3-x|+|x-2|\)

\(A\ge2+|x-2|\)

Vì \(|x-2|\ge0\)với \(\forall\)x

\(\Rightarrow A\ge2+0\)

\(\Rightarrow A\ge2\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x-1\right)\left(3-x\right)\ge0\left(1\right)\\|x-2|=0\Rightarrow x=2\left(2\right)\end{cases}}\)

Giải (1) ta có :

\(\hept{\begin{cases}x-1\ge0\\3-x\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge1\\3\ge x\end{cases}}\Leftrightarrow1\le x\le3\Leftrightarrow x\in\left\{1;2;3\right\}\left(3\right)\)

\(\hept{\begin{cases}x-1\le0\\3-x\le0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\le1\\3\le x\end{cases}}\)( không có giá trị thỏa mãn )

Từ (2) và (3) => x = 2

Vậy Min_A = 2 khi x = 2

GTNN A=3

Bạn cần biết: \(|a+b|\le|a|+|b|\).Dấu "=" xảy ra khi: \(ab\ge0\)

\(A=|x-2|+|x-5|=|x-2|+|5-x|\ge|x-2+5-x|=3\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\left(x-2\right)\left(5-x\right)\ge0\)

                       \(\Rightarrow\left(x-2\right)\left(x-5\right)\le0\)

Mà \(x-2>x-5\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-2\ge0\\x-5\le0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x\ge2\\x\le5\end{cases}\Rightarrow}2\le x\le5}\)

Vậy GTNN của A là 3 khi \(2\le x\le5\)

Chúc bạn học tốt.