Lũy thừa một phép toán hai ngôi của toán học thực hiện trên hai số a và b, kết quả của phép toán lũy thừa là tích số củaphép nhân có b thừa số a nhân với nhau. Lũy thừa ký hiệu là \(a^b\), đọc là lũy thừa bậc b của a, số a gọi là cơ số, số b gọi làsố mũ.

Phép toán ngược với phép tính lũy thừa là phép khai căn. Lũy thừa (từ Hán-Việt: 累乘) có nghĩa là "nhân chồng chất lên".

Đặc biệt

a² còn gọi là "a bình phương";

a³ còn gọi là "a lập phương".
Lũy thừa của không và một:
.
.

Trong trường hợp b = n là số nguyên dương, lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a:

Các tính chất quan trong nhất của lũy thừa với số mũ nguyên dương m, n là

Đặc biệt, ta có:

Trong khi các phép cộng và phép nhân có tính chất giao hoán, phép tính lũy thừa không có tính giao hoán.

Tương tự các phép cộng và nhân có tính kết hợp, còn phép tính lũy thừa thì không.. Khi không có dấu ngoặc, thứ tự tính của các lũy thừa là từ trên xuống, chứ không phải là từ dưới lên:

Lũy thừa với số mũ 0 của số a khác không được quy ước bằng 1.

Chứng minh

Lũy thừa của a với số mũ nguyên âm m, trong đó ({\displaystyle m=-n}) a khác không và n là số nguyên dương là:

Ví dụ

Cách suy luận ra "lũy thừa với số mũ nguyên âm" từ "lũy thừa với số mũ không":

Trường hợp đặc biệt, lũy thừa của số khác không a với số mũ −1 là số nghịch đảo của nó.

{\displaystyle a^{-1}={\frac {1}{a}}.}

Một căn bậc n của số a là một số x sao cho xⁿ = a.

Nếu a là số thực dương, n là số nguyên dương, x không âm thì có đúng một số thực dương x sao cho xⁿ = a.

Số x này được gọi là căn số học bậc n của a.Nó được ký hiệu là ⁿ√a, trong đó √  là ký hiệu căn.

Lũy thừa với số mũ hữu tỷ tối giản m/n (m, n là số nguyên, trong đó n dương), của số thực dương a được định nghĩa là

định nghĩa này có thể mở rộng cho các số thực âm mỗi khi căn thức là có nghĩa.

Số e là hằng số toán học quan trọng, xấp xỉ 2.718 và là cơ số của logarit tự nhiên. Số e được định nghĩa qua giới hạn sau:

Hàm e mũ, được định nghĩa bởi

ở đây x được viết như số mũ vì nó thỏa mãn đẳng thức cơ bản của lũy thừa

Hàm e mũ xác định với tất cả các giá trị nguyên, hữu tỷ, thực và cả giá trị phức của x.

Có thể chứng minh ngắn gọn rằng hàm e mũ với x là số nguyên dương k chính là e^k như sau:

Chứng minh này cũng chứng tỏ rằng e^x+y thỏa mãn đẳng thức lũy thừa khi x và y là các số nguyên dương. Kết quả này cũng có thể mở rộng cho tất cả các số không phải là số nguyên dương.

Vì mỗi số thực có thể được tiệm cận bởi các số hữu tỷ nên lũy thừa của với số mũ thực x có thể định nghĩa nhờ giới hạn

trong đó r tiến tới x chỉ trên các giá trị hữu tỷ của r.

Chẳng hạn, nếu

thì

Lũy thừa với số mũ thực cũng thường được định nghĩa bằng cách sử dụng logarit thay cho sử dụng giới hạn của các số hữu tỷ.

Logarit tự nhiên {\displaystyle \ln {(x)}} là hàm ngược của hàm e-mũ e^x. Theo đó {\displaystyle \ln x} là số b sao cho x = e ^b .

Nếu a là số thực dương, x là số thực bất kỳ ta có a = e ^ln a

^{nên nếu ax được định nghĩa nhờ hàm logarit tự nhiên thì ta cần phải có}

{\displaystyle a^{x}=(e^{\ln a})^{x}=e^{x\cdot \ln a}.\,}

^{Điều này dẫn tới định nghĩa}

{\displaystyle a^{x}=e^{x\cdot \ln a}\,}

^{với mọi số thực x và số thực dương a.}

^{Định nghĩa này của lũy thừa số mũ thực phù hợp với định nghĩa lũy thừa thực nhờ giới hạn ở trên và với cả lũy thừa với số mũ phức dưới đây. [1]}

Dựa vào biểu diễn lượng giác của các số phức, người ta định nghĩa lũy thừa số mũ phức của số e như sau. Trước hết, lũy thừa với số mũ thuần ảo của e định nghĩa theo công thức Euler:

Sau đó với số phức {\displaystyle z=x+y\cdot i}, ta có

Nếu a là một số thực dương và z là số phức thì lũy thừa a^z được định nghĩa là

trong đó x = ln(a) là nghiệm duy nhất của phương trình e^x = a.

Nếu {\displaystyle z=x+y\cdot i}, ta có

1. aⁿ = a {\displaystyle \times } a {\displaystyle \times } a {\displaystyle \times }... {\displaystyle \times } a

n chữ số a

2. {\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}={\frac {1}{a\times a\times a\times ...a}}}

3. 0ⁿ = 0

4. 1ⁿ = 1

5. a⁰ = 1

4. a¹ = a

7. {\displaystyle a^{-1}={\frac {1}{a}}}

  Công thức lũy thừa lớp 6:

- Phép nhân lũy thừa cùng cơ số: a^m.aⁿ= a^m+n (m, n thuộc N)

- Chia hai lũy thừa cùng cơ số:  a^m:aⁿ= a^m-n  (m, n thuộc N; a thuộc N*, m lớn hơn hoặc bằng n)

- Lũy thừa của lũy thừa: (a^m)ⁿ = a^m.n  (m, n thuộc N)

- Nhân hai lũy thừa cùng số mũ: a^m.b^m= (a.b)^m (m thuộc N)

- Chia hai lũy thừa cùng số mũ: a^m:b^m= (a:b)^m  (m thuộc N)

k cho mk nha mk nhanh nhất, cảm ơn trước

khong biet tat ca

mik chỉ ví dụ sương sương thôi

vd là 3 nhân 3 nhân 3 nhân 3 nhân 3 nhân 3 là có 6 số ba nê người ta gọi là 3⁶

3 mũ 6 cơ số 3 số mũ 6

bình phương : số mũ 2   Lập phương số mũ là 3

3² lấy hai số 3 nhân với nhau mũ 4 thì lấy 4 số mũ 5 thì lấy 5 số

2^n+4.2^n=5.2^5

2^n.(1+4)=5.2^5

2^n.5=5.2^5

Suy ra n=5

a.a.a.........a(n chữ số a)=aⁿ

VD: 3.3.3⁼3³

là \(a^n\)

a^n=a.a.a.a.a.....a(n thừa số a)

* nhân hai lũy thừa cùng cơ số ta giữ nguyên cơ số, lấy số mũa cộng cho nhau. công thức : a^m * a^n=a^m+n

* chia hai lũy thừa cùng cơ số ta giữ nguyên cơ số lấy số mũ trừ cho nhau . a^m:a^n=a^m-n

* công thức lũy thừa của lũy thừa: (a^m)^n = a^m.n

cho vd nua bạn ơi

Là aⁿ hay a.a.a....a.a có n chữ số a 

Ví dụ:2²

Lũy thừa bậc n của a là aⁿ(=a.a.a....a và có n thừa số a)

VD: 2³

4⁵

654⁴⁶⁴

Lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a.

Mình có dạng tổng quát:    aⁿ = a . a . a . ... . a (n thừa số)               (n khác 0)

a gọi là cơ số, n gọi là số mũ.

Ví dụ: 2^{3 .} Ta có : a=2 ; n=3 ; 2³=8

Lũy thừa bậc n của a là aⁿ VD : a=2 , n = 2=> 2²=4