\(\Leftrightarrow\left|\frac{x^2-mx+4}{x^2+x+4}\right|\ge\frac{1}{2}\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\frac{x^2-mx+4}{x^2+x+4}\ge\frac{1}{2}\\\frac{x^2-mx+4}{x^2+x+4}\le-\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2\left(x^2-mx+4\right)\ge x^2+x+4\\2\left(x^2-mx+4\right)\le-x^2-x-4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2-\left(2m+1\right)x+4\ge0\left(1\right)\\3x^2-\left(2m-1\right)x+12\le0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Xét (2), do \(a=3>0\) nên ko tồn tại m để (2) thỏa mãn với mọi x

Xét (1), để BPT đúng với mọi x

\(\Leftrightarrow\Delta\le0\Leftrightarrow4m^2+4m-15\le0\)

\(\Rightarrow-\frac{5}{2}\le m\le\frac{3}{2}\)

\(bpt\Leftrightarrow\left(\dfrac{x^2+x+4}{x^2-mx+4}\right)^2-2^2\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{x^2+x+4}{x^2-mx+4}-2\right)\left(\dfrac{x^2+x+4}{x^2-mx+4}+2\right)\le0\left(1\right)\)

\(bpt\) \(đúng\forall x\in R\Leftrightarrow x^2-mx+4\ne0\)

\(hay:x^2-mx+4=0\) \(vô\) \(nghiệm\)

\(\Leftrightarrow\Delta< 0\Leftrightarrow m^2-16< 0\Leftrightarrow-4< m< 4\)(1)

\(\Rightarrow x^2-mx+4>0\left(\forall x\in R\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+x+4>0\\x^2-mx+4>0\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\dfrac{x^2+x+4}{x^2-mx+4}+2>0\left(\forall x\in R\right)\)

\(\Rightarrow\left(1\right)\Leftrightarrow\left(\dfrac{x^2+x+4}{x^2-mx+4}-2\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2+x+4-2x^2+2mx-8}{x^2-mx+4}\le0\)

\(\Leftrightarrow-x^2+x\left(1+2m\right)-4\le0\)

\(\Leftrightarrow x^2-x\left(2m+1\right)x+4\ge0\)

\(\Leftrightarrow\Delta\le0\Leftrightarrow\left(2m+1\right)^2-16\le0\Leftrightarrow\dfrac{-5}{2}\le m\le\dfrac{3}{2}\)(2)

từ (1)(2)\(\Rightarrow\dfrac{-5}{2}\le m\le\dfrac{3}{2}\)

BPT đã cho vô nghiệm khi và chỉ khi BPT \(f\left(x\right)\le0\) nghiệm đúng với mọi x

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}2m^2+m-6=0\\2m-3=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m=\dfrac{3}{2}\)

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}2m^2+m-6< 0\\\Delta=\left(2m-3\right)^2+4\left(2m^2+m-6\right)\le0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2m^2+m-6< 0\\12m^2-8m-15\le0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-3< m< \dfrac{3}{2}\\-\dfrac{5}{6}\le m\le\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow-\dfrac{5}{6}\le m< \dfrac{3}{2}\)

Kết hợp 2 trường hợp ta được \(-\dfrac{5}{6}\le m\le\dfrac{3}{2}\)

2.

b, \(-4< \dfrac{2x^2+mx-4}{-x^2+x-1}< 6\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-4< \dfrac{2x^2+mx-4}{-x^2+x-1}\left(1\right)\\\dfrac{2x^2+mx-4}{-x^2+x-1}< 6\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow4\left(x^2-x+1\right)>2x^2+mx-4\)

\(\Leftrightarrow2x^2-\left(m+4\right)x+8>0\)

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi \(\Delta=m^2+8m-48< 0\Leftrightarrow-12< m< 4\)

\(\left(2\right)\Leftrightarrow-6\left(x^2-x+1\right)< 2x^2+mx-4\)

\(\Leftrightarrow8x^2+\left(m-6\right)x+2>0\)

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi \(\Delta=m^2-12m-28< 0\Leftrightarrow-2< x< 14\)

Vậy \(m\in\left(-2;4\right)\)

2.

a, Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi phương trình \(\left(m-4\right)x^2+\left(1+m\right)x+2m-1>0\) có nghiệm đúng với mọi x

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m-4>0\\\Delta=m^2+2m+1-4\left(m-4\right)\left(2m-1\right)< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>4\\\left[{}\begin{matrix}m< \dfrac{3}{7}\\m>5\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow m>5\)

1.a.

\(\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x-2\right)\left(x+5\right)\ge m\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+3x+2\right)\left(x^2+3x-10\right)\ge m\)

Đặt \(x^2+3x-10=t\ge-\dfrac{49}{4}\)

\(\Rightarrow\left(t+2\right)t\ge m\Leftrightarrow t^2+2t\ge m\)

Xét \(f\left(t\right)=t^2+2t\) với \(t\ge-\dfrac{49}{4}\)

\(-\dfrac{b}{2a}=-1\) ; \(f\left(-1\right)=-1\) ; \(f\left(-\dfrac{49}{4}\right)=\dfrac{2009}{16}\)

\(\Rightarrow f\left(t\right)\ge-1\)

\(\Rightarrow\) BPT đúng với mọi x khi \(m\le-1\)

Có 30 giá trị nguyên của m

1b.

Với \(x=0\)  BPT luôn đúng

Với \(x\ne0\) BPT tương đương:

\(\dfrac{\left(x^2-2x+4\right)\left(x^2+3x+4\right)}{x^2}\ge m\)

\(\Leftrightarrow\left(x+\dfrac{4}{x}-2\right)\left(x+\dfrac{4}{x}+3\right)\ge m\)

Đặt \(x+\dfrac{4}{x}-2=t\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t\ge2\\t\le-6\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow t\left(t+5\right)\ge m\Leftrightarrow t^2+5t\ge m\)

Xét hàm \(f\left(t\right)=t^2+5t\) trên \(D=(-\infty;-6]\cup[2;+\infty)\)

\(-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{5}{2}\notin D\) ; \(f\left(-6\right)=6\) ; \(f\left(2\right)=14\)

\(\Rightarrow f\left(t\right)\ge6\)

\(\Rightarrow m\le6\)

Vậy có 37 giá trị nguyên của m thỏa mãn

1, \(x^4-19x^2-10x+8=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+4\right)\left(x^3-4x^2-3x+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+4\right)\left(x+1\right)\left(x^2-5x+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+4=0\\x+1=0\\x^2-5x+2=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x_1=-4\\x_2=-1\end{matrix}\right.\)

hoặc \(x^2-5x+2=0\)

\(\Rightarrow\Delta=17\left(CT:b^2-4ac\right)\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x_3=\dfrac{5+\sqrt{17}}{2}\\x_4=\dfrac{5-\sqrt{17}}{2}\end{matrix}\right.\)

Vậy pt có 4 n^o là...........

Đặt x^2 = t \(\ge\)0 

phương trình trở thành: \(t^2+mt+4=0\)(1)

Phương trình ban đầu có 4 nghiệm phân biệt <=> phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt dương 

<=> \(\hept{\begin{cases}\Delta>0\\-\frac{b}{a}>0\\\frac{c}{a}>0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m^2-16>0\\-m>0\\4>0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m^2>16\\m< 0\end{cases}}\Leftrightarrow m< -4\)

Kết luận:...