a) x⁴+x³+2x²+x+1=(x⁴+x³+x²)+(x²+x+1)=x²(x²+x+1)+(x²+x+1)=(x²+x+1)(x²+1)

b)a³+b³+c³-3abc=a³+3ab(a+b)+b³+c³ -(3ab(a+b)+3abc)=(a+b)³+c³-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)((a+b)²-(a+b)c+c²)-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a²+2ab+b²-ac-ab+c²-3ab)=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-ac-bc)

c)Đặt x-y=a;y-z=b;z-x=c

a+b+c=x-y-z+z-x=o

đưa về như bài b

d)nhóm 2 hạng tử đầu lại và 2hangj tử sau lại để 2 hạng tử sau ở trong ngoặc sau đó áp dụng hằng đẳng thức dề tính sau đó dặt nhân tử chung

e)x²(y-z)+y²(z-x)+z²(x-y)=x²(y-z)-y²((y-z)+(x-y))+z²(x-y)

=x²(y-z)-y²(y-z)-y²(x-y)+z²(x-y)=(y-z)(x²-y²)-(x-y)(y²-z²)=(y-z)(x²-2y²+xy+xz+yz)

\(A=-\left(x^2-3x-4\right)\)

\(=-\left(x^2-2.x\frac{3}{2}+\frac{9}{4}+\frac{7}{4}\right)\)

\(=-\left(\left(x-\frac{3}{2}\right)+\frac{7}{4}\right)\)

\(=-\frac{7}{4}-\left(x-\frac{3}{2}\right)^2\le\frac{-7}{4}\)

Vậy \(MAXA=\frac{-7}{4}\Leftrightarrow x-\frac{3}{2}=0\Rightarrow x=\frac{3}{2}\)

\(B=2\left(x^2-\frac{3}{2}x+1\right)=2\left(x^2-2\times x\times\frac{3}{4}+\frac{9}{16}-\frac{9}{16}+1\right)=2\left(x-\frac{3}{4}\right)^2+\frac{7}{8}\ge\frac{7}{8}\)

MIN B = 7/8 <=> x=3/4

Lời giải:

a)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(4M=(3x^2+y^2)(3+1)\geq (3x+y)^2\)

\(\Leftrightarrow 4M\geq 1\Leftrightarrow M\geq \frac{1}{4}\)

Vậy \(M_{\min}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{4}\)

b) Với mọi \(x,y\in\mathbb{R}\Rightarrow (3x-y)^2\geq 0\)

\(\Leftrightarrow 9x^2+y^2-6xy\geq 0\Leftrightarrow (3x+y)^2-12xy\geq 0\)

\(\Leftrightarrow xy\leq \frac{(3x+y)^2}{12}=\frac{1}{12}\)

Vậy \(K_{\max}=\frac{1}{12}\Leftrightarrow x=\frac{1}{6};y=\frac{1}{2}\)