Để \(n^2-n+2\) là số chính phương \(\Leftrightarrow n^2-n+2=a^2\left(a\in Z\right)\)

\(\Leftrightarrow4n^2-4n+8=4a^2\)

\(\left(4n^2-4n+1\right)+7=\left(2a\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(2n-1\right)^2+7=\left(2a\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(2n-1\right)^2-\left(2a\right)^2=-7\)

\(\Leftrightarrow\left(2n-2a-1\right)\left(2n+2a-1\right)=-7\)

=> 2n - 2a - 1 và 2n + 2a - 1 là ước của - 7

Đến đây liệt kê ước của - 7 rồi xét các TH !!!

ta có n^3-n=n(n^2-1)=(n-1)n(n+1) chia hết cho 3

=> n^3-n+2 chia 3 dư 2 

mà số chính phương chia 3 dư 0 hoặc 1 suy ra vô nghiệm

Ta có;                                    \(n^3-n=n^2.n-n=\left(n^2-1hay1^2\right).n=\left(n-1\right)\left(n+1\right)n\)

Vì n-1 ; n ; n+1 là ba số liên tiếp nên trong ba số chắc chắn có một thừa số chia hết cho 3.

Vậy \(\left(n^3-n\right)⋮3\)suy ra n\(^3\)-n + 2 chia cho 3 dư 2.

SCP không chia cho 3 dư 2 nên không có n sao cho số trên là SCP!

a, Với n = 1 thì \(n^3-n+2=1^3-1+2=2\)

=> Không phải là số chính phương

Với n = 2 thì \(n^3-n+2=2^3-2+2=8-2+2=8\)

=> Không phải là số chính phương

Với n > 2 thì \(n^3-n+2\)không phải là số chính phương vì \(\left[n-1\right]^2< n^3-\left[n-2\right]< n^2\)

b, Với n = 1 thì \(n^4-n+2=1^4-1+2=2\)

=> Không phải là số chính phương

Với n = 2 thì \(n^4-n+2=2^4-2+2=16=4^2\)=> Là số chính phương

Với n > 2 thì \(\left[n^2-1\right]^2< n^4-\left[n-2\right]< \left[n^2\right]^2\)

=> Không phải là số chính phương

Vậy n = 2

b, nếu n=0 thì n⁴ -  n  +2=2(loại)

nếu n=1 thì n⁴ -  n  +2=2(loại)

nếu n=2 thì n⁴ -  n  +2=16(nhận)

nếu n>=3 thì n⁴-n+2>(n²)²-2n+1=(n²-1)²  

n⁴-n+2<(n²)² (vì n>=3 nên -n+2<0)

suy ra (n²-1)²  <n⁴-n+2<(n²)² suy ra n>=3 ko là số cp

vậy n=2