Vai trò bình đẳng của \(x;y;z\) trong phương trình, ta có: \(x\le y\le z\)

Mà: \(x;y;z\) nguyên dương\(\Rightarrow xyz\ne0\)

Do: \(x\le y\le z\Leftrightarrow xyz=x+y+z\le3z\Leftrightarrow xy\le3\Leftrightarrow xy\in\left\{1;2;3\right\}\)

+) Nếu \(xy=1\Leftrightarrow x=y=1\) thay vào phương trình ta có: \(2+z=z\) (Vô lý)

+) Nếu \(xy=2\) mà \(x\le y\Leftrightarrow x=1;y=2\) thay vào phương trình ta có: \(z=3\)

+) Nếu \(xy=3\) mà \(x\le y\Leftrightarrow x=1;y=3\) thay vào phương trình ta có: \(z=2\)

Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình là các hoán vị của \(1;2;3\)

Đáp án: =0

Giải thích các bước giải:x=y=z=0

#Châu's ngốc

Ta có : \(x+y+z=xyz\)(1)

Do vai trò bình đẳng của x, y, z trong phương trình, trước hết ta xét \(x\le y\le z\)

Vì x, y, z nguyên dương nên \(xyz\ne0\), do \(x\le y\le z\)

 \(\Rightarrow xyz=x+y+z\le3z\)

 \(\Rightarrow xy\le3\)

.\(\Rightarrow xy\in\left\{1;2;3\right\}\)
Nếu xy = 1 => x = y = 1, thay vào (1) ta có : 2 + z = z (vô lí)

Nếu xy = 2, do x \(\le\) y nên x = 1 và y = 2, thay vào (1) => z = 3.

Nếu xy = 3, do x \(\le\) y nên x = 1 và y = 3, thay vào (1) => z = 2.

Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình (1) là các hoán vị của (1 ; 2 ; 3).

Không mất tính tổng quát, giả sử \(x\ge y\ge z\ge1\).

Khi đó ta có: \(13=xyz+x^2+y^2+z^2\ge z^3+3z^2\)

suy ra \(z=1\). 

\(12=xy+x^2+y^2\ge y^2+y^2+y^2=3y^2\)

\(\Rightarrow y=1\)hoặc \(y=2\).

Với \(y=1\): \(x^2+1+1+x=13\Leftrightarrow x^2+x-11=0\)không có nghiệm nguyên dương. 

Với \(y=2\): \(x^2+2^2+1^2+1.2.x=13\Leftrightarrow x^2+2x-8=0\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x+4\right)=0\)

\(\Rightarrow x=2\)thỏa mãn. 

Vậy phương trình có nghiệm là \(\left(1,2,2\right)\)và các hoán vị. 

1 Do vai trò bình đẳng của x, y, z trong phương trình, trước hết ta xét x ≤ y ≤ z. 
Vì x, y, z nguyên dương nên xyz ≠ 0, do x ≤ y ≤ z => xyz = x + y + z ≤ 3z => xy ≤ 3 => xy thuộc {1 ; 2 ; 3}. 
Nếu xy = 1 => x = y = 1, thay vào (2) ta có : 2 + z = z, vô lí. 
Nếu xy = 2, do x ≤ y nên x = 1 và y = 2, thay vào (2), => z = 3. 
Nếu xy = 3, do x ≤ y nên x = 1 và y = 3, thay vào (2), => z = 2.

Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình là các hoán vị của (1 ; 2 ; 3).

2

2, dùng bđt |a|+|b| >= |a+b| ,dấu "=" khi ab >= 0

A >= |2x+2+2013-2x|=2015

Dấu "=" khi (2x+2)(2013-x) >= 0 <=> -1 <= x <= 2013

\(VD1\)

Giả sử \(x\le y\Rightarrow\sqrt{x}\le\sqrt{y}\)

\(\Rightarrow2\sqrt{x}\le\sqrt{x}+\sqrt{y}=9\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}\le4,5\)

\(\Rightarrow x\le4,5^2\)

\(\Rightarrow x\le20,25\)

\(\Rightarrow x\in\left\{0,1,4,9,16\right\}\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}\in\left\{0,1,2,3,4\right\}\)

TH1 : \(x=0\Rightarrow\sqrt{x}=0\Rightarrow\sqrt{y}=9\Rightarrow y=81\)

TH2 : \(x=1\Rightarrow\sqrt{x}=1\Rightarrow\sqrt{y}=8\Rightarrow y=64\)

Th3 : \(x=4\Rightarrow\sqrt{x}=2\Rightarrow\sqrt{y}=7\Rightarrow y=49\)

Th4 : \(x=9\Rightarrow\sqrt{x}=3\Rightarrow\sqrt{y}=6\Rightarrow y=36\)

Th5 : \(x=16\Rightarrow\sqrt{x}=4\Rightarrow\sqrt{y}=5\Rightarrow y=25\)

Vì x , y có vai trò như nhau nên các trường hợp còn lại chỉ là đổi chỗ giữa x và y . ( vd y = 0 thì x = 81 )

KL....
 

VD2: Ta có:

x+y+z=xyz ( 1 )

Chia 2 vế của ( 1 ) cho xyz\(\ne\)0 ta đc:

\(\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}+\frac{1}{xy}=1\)

Giả sử \(x\ge y\ge z\ge1\)thì ta có:

\(1=\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}+\frac{1}{xy}\le\frac{1}{z^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{z^2}=\frac{3}{z^2}\)

\(\Rightarrow1\le\frac{3}{z^2}\Rightarrow z^2\le3\Leftrightarrow z=1\)

Thay z=1 vào ( 1 ) ta đc:

x+y+1=xy

\(\Leftrightarrow\)xy -x - y = 1

\(\Leftrightarrow\)x ( y - 1 ) - ( y - 1 ) = 2

\(\Leftrightarrow\)( x - 1 ) ( y - 1 ) =2

Mà \(x-1\ge y-1\)nên \(\hept{\begin{cases}x-1=2\\y-1=1\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=3\\y=2\end{cases}}}\)

Vậy nghiệm dương của phương trình là các hoán vị của 1, 2, 3