\(\Leftrightarrow x+y+3+2\sqrt{x+y+3}+1=x+2\sqrt{xy}+y\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x+y+3}=\sqrt{xy}-2\Leftrightarrow x+y+3=xy-4\sqrt{xy}+4\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{xy}=\frac{xy-x-y+1}{4}\)

Nếu xy không là số chính phương thì VT là số vô tỉ còn VP là số hữu tỉ (vô lý)

Vậy \(xy=k^2\Rightarrow\sqrt{xy}=k\)

Ta có : \(x+y+3=xy-4\sqrt{xy}+4\Leftrightarrow x+y+2\sqrt{xy}=xy-2\sqrt{2xy}+1\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2=\left(\sqrt{xy}+1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{xy}-1\)(*)

\(\Leftrightarrow\sqrt{y}=k-1-\sqrt{x}\Leftrightarrow y=\left(k-1\right)^2-2\left(k-1\right)\sqrt{x}+x\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}=\frac{\left(k-1\right)^2+x-y}{2\left(k-1\right)}\)( vì .....k>2)

Nếu x không là số chính phương thì VT là số vô tỉ, VP là hữu tỉ(vô lý)

Vậy x là số chính phương , tương tự y là số chính phương.

Đặt \(x=a^2;y=b^2\), từ (*) \(a+b=ab+1\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)=2\)

Ta tìm được (a;b)=(2;3);(3;2)=> (x;y)=(4;9);(9;4)

\(\sqrt{x+y+3}+1=\sqrt{x}+\sqrt{y}\)

Bình phương 2 vế, ta có:

\(x+y+3+1=x+y\)

\(x+y+3+1-x-y=0\)

\(4=0\) (vô lý)

Vậy phương trình vô nghiệm

-Chúc bạn học tốt-

Bạn sai rồi nhé. Xem lại chỗ bình phương.

Dùng thẳng cô si vào VT luôn cho nhanh :v!

ĐK: \(x,y,z>0\)

Ta có: \(VP=\frac{1}{2}\left(y+3\right)=\frac{y+3}{2}\)

Mặt khác theo cô si,ta có

\(VT\le\frac{1+x}{2}+\frac{1+y-z}{2}+\frac{1+z-x}{2}\)\(=\frac{y+3}{2}=VP\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y-z=1\\z-x=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y-z=1\\z-1=1\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=1\\z=2\\y-2=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=3\\z=2\end{cases}}\)

Vậy ...

Quá nhanh quá ngu hiểm :v.Lâu lắm mới nghĩ ra được cách thế này.Nãy ngồi bình phương suốt mà làm hoài không ra.

\(\Rightarrow x+2\sqrt{3}=y+z+2\sqrt{yz}\)

\(\Rightarrow2\sqrt{yz}=\left(x-y-z\right)+2\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow4yz=\left(x-y-z\right)^2+12+4\sqrt{3}\left(x-y-z\right)\)

\(\Rightarrow4\sqrt{3}\left(x-y-z\right)=4yz-12-\left(x-y-z\right)^2\) (1)

\(\sqrt{3}\) là số vô tỉ nên đẳng thức xảy ra khi: \(x-y-z=0\)

Thay ngược vào (1) \(\Rightarrow yz=3\Rightarrow\left(y;z\right)=\left(1;3\right);\left(3;1\right)\)

\(\Rightarrow\sqrt{x+2\sqrt{3}}=\sqrt{4+2\sqrt{3}}\Rightarrow x=4\)

Mong các bạn ủng hộ cho kênh youtube của mình nha !!

Tên youtube:P Music

Link:https://www.youtube.com/channel/UCs0JKZKs4zoDYqqtAmtiBBA?view_as=subscriber

Nhóm của mình gồm có:
Hậu Trần YTVN

Vanh_GoG_VN

M.Ichibi

P Music(là mình)

Mong các bạn ủng hộ nha !!