a: BM là phân giác của góc ABC

=>\(\widehat{ABM}=\widehat{MBC}=\dfrac{\widehat{ABC}}{2}\)

CM là phân giác của góc ACB

=>\(\widehat{ACM}=\widehat{MCB}=\dfrac{\widehat{ACB}}{2}\)

Xét ΔMBC có \(\widehat{MBC}+\widehat{MCB}+\widehat{BMC}=180^0\)

=>\(\widehat{BMC}+\dfrac{\widehat{ABC}+\widehat{ACB}}{2}=180^0\)

=>\(\widehat{BMC}+\dfrac{180^0-\widehat{BAC}}{2}=180^0\)

=>\(\widehat{BMC}+\dfrac{180^0-a}{2}=180^0\)

=>\(\widehat{BMC}=180^0-90^0+\dfrac{a}{2}=\dfrac{a}{2}+90^0\)

Vì BM,BN lần lượt là phân giác trong và phân giác ngoài tại đỉnh B của ΔABC nên BM\(\perp\)BN

=>\(\widehat{MBN}=90^0\)

Vì CM,CN lần lượt là phân giác trong và phân giác ngoài tại đỉnh C của ΔABC nên CM\(\perp\)CN

=>\(\widehat{MCN}=90^0\)

Xét tứ giác BMCN có \(\widehat{BMC}+\widehat{BNC}+\widehat{MBN}+\widehat{MCN}=360^0\)

=>\(\widehat{BNC}+90^0+\dfrac{a}{2}+90^0+90^0=360^0\)

=>\(\widehat{BNC}=90^0-\dfrac{a}{2}\)

b: Xét tứ giác BMCN có \(\widehat{MBN}+\widehat{MCN}=90^0+90^0=180^0\)

nên BMCN là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MN

=>B,M,C,N cùng thuộc đường tròn tâm O đường kính MN

Tâm O là trung điểm của MN

\(A=\dfrac{\left(sina+cosa\right)\left(sin^2a-sina\cdot cosa+cos^2a\right)}{cosa\cdot sina\left(2cosa+sina\right)}\)

\(=\dfrac{\left(sina+cosa\right)\left(1-sina\cdot cosa\right)}{cosa\cdot sina\left(2\cdot cosa+sina\right)}\)

\(1+tan^2a=\dfrac{1}{cos^2a}=1+\dfrac{9}{25}=\dfrac{34}{25}\)

\(\Leftrightarrow cosa=\dfrac{5}{\sqrt{34}}\)

=>\(sina=\dfrac{3}{\sqrt{34}}\)

\(=\dfrac{\left(sina+cosa\right)\left(1-sina\cdot cosa\right)}{cosa\cdot sina\left(2\cdot cosa+sina\right)}\)

\(=\dfrac{\left[\left(\dfrac{3}{\sqrt{34}}+\dfrac{5}{\sqrt{34}}\right)\left(1-\dfrac{15}{34}\right)\right]}{\dfrac{15}{34}\cdot\left(\dfrac{10}{\sqrt{34}}+\dfrac{3}{\sqrt{34}}\right)}\)

\(=\dfrac{\dfrac{8}{\sqrt{34}}\cdot\dfrac{19}{34}}{\dfrac{15}{34}\cdot\dfrac{13}{\sqrt{34}}}=\dfrac{8\cdot19}{15\cdot13}=\dfrac{152}{195}\)

Gọi I là trung điêm OM

do đó ta có tính chất của trung tuyến ứng với cạnh huyền lầ

 \(IO=IA=IM=\frac{1}{2}OM=\frac{1}{2}.2R=R\)

Xét tam giác IOA có \(IO=OA=AI=R\Rightarrow\)tam giác IOA đều nên IOA = 60 độ

chứng minh tương tự ta sẽ có góc IOB=60 độ 

nên AOB=AOI+IOB=120 độ

AOB=120

Bài 1:

a) Ta có:

\(tanB=\dfrac{AC}{AB}\Rightarrow\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{5}{2}\)

\(\Rightarrow AC=\dfrac{AB\cdot5}{2}=\dfrac{6\cdot5}{2}=15\)  

b) Áp dụng Py-ta-go ta có: 

\(BC^2=AB^2+AC^2=6^2+15^2=261\)

\(\Rightarrow BC=\sqrt{261}=3\sqrt{29}\)

Bài 2: 

\(\left\{{}\begin{matrix}sinM=sin40^o\approx0,64\Rightarrow cosN\approx0,64\\cosM=cos40^o\approx0,77\Rightarrow sinN\approx0,77\\tanM=tan40^o\approx0,84\Rightarrow cotN\approx0,84\\cotM=cot40^o\approx1,19\Rightarrow tanN\approx1,19\end{matrix}\right.\)

Đặt \(tan\alpha=x\Rightarrow cot\alpha=\frac{1}{x}\) 

Ta có : \(tan\alpha+cot\alpha=2\) 

\(\Leftrightarrow x+\frac{1}{x}=2\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow x=1\)

Vậy \(tan\alpha=1\Rightarrow\alpha=45^o\)(thỏa mãn)