Câu hỏi của trinh thi hang

Question

Tìm số nguyên dương n lớn nhất để A=427+42021+4n là số chính phương

Tiểu Nhi · Accepted Answer

+) Xét n≥27n≥27Ta có : A=427+42016+4n=427⋅(1+41989+4n−27)A=427+42016+4n=427⋅(1+41989+4n−27)Dễ thấy 427=22⋅27=(227)2427=22⋅27=(227)2 là số chính phươngDo đó để A là số chính phương thì 1+41989+4n−271+41989+4n−27 là số chính phươngĐặt B2=1+41989+4n−27B2=1+41989+4n−27 và n−27=kn−27=kKhi đó : B2=1+41989+4kB2=1+41989+4k⇔B2−(2k)2=1+41989⇔B2−(2k)2=1+41989⇔(B−2k)(B+2k)=1+41989⇔(B−2k)(B+2k)=1+41989Ta có : B+2k≤1+41989B+2k≤1+41989 và B−2k≥1B−2k≥1⇒B−2k+41989≥1+41989≥B+2k⇒B−2k+41989≥1+41989≥B+2kHay B−2k+41989≥B+2kB−2k+41989≥B+2k⇔2⋅2k≤41989⇔2⋅2k≤41989⇔2k+1≤23978⇔2k+1≤23978⇔k+1≤3978⇔k+1≤3978⇔k≤3977⇔k≤3977Để n lớn nhất thì k lớn nhất,nên:Nếu k=3977k=3977 ta có B2=1+41989+43977B2=1+41989+43977⇔B2=(23977)2+2⋅23977+1⇔B2=(23977)2+2⋅23977+1⇔B2=(23977+1)2⇔B2=(23977+1)2( đúng )Vậy k=3977⇒n=3977+27=4004k=3977⇒n=3977+27=4004( thỏa )+) Xét n≤27n≤27 nên hiển nhiên n≤4004n≤4004Suy ra n lớn nhất để A là số chính phương thì n=4004Nếu thấy đúng thì k cho mình nhaCâu trả lời: +) Xét n≥27n≥27Ta có : A=427+42016+4n=427⋅(1+41989+4n−27)A=427+42016+4n=427⋅(1+41989+4n−27)Dễ thấy 427=22⋅27=(227)2427=22⋅27=(227)2 là số chính phươngDo đó để A là số chính phương thì 1+41989+4n−271+41989+4n−27 là số chính phươngĐặt B2=1+41989+4n−27B2=1+41989+4n−27 và n−27=kn−27=kKhi đó : B2=1+41989+4kB2=1+41989+4k⇔B2−(2k)2=1+41989⇔B2−(2k)2=1+41989⇔(B−2k)(B+2k)=1+41989⇔(B−2k)(B+2k)=1+41989Ta có : B+2k≤1+41989B+2k≤1+41989 và B−2k≥1B−2k≥1⇒B−2k+41989≥1+41989≥B+2k⇒B−2k+41989≥1+41989≥B+2kHay B−2k+41989≥B+2kB−2k+41989≥B+2k⇔2⋅2k≤41989⇔2⋅2k≤41989⇔2k+1≤23978⇔2k+1≤23978⇔k+1≤3978⇔k+1≤3978⇔k≤3977⇔k≤3977Để n lớn nhất thì k lớn nhất,nên:Nếu k=3977k=3977 ta có B2=1+41989+43977B2=1+41989+43977⇔B2=(23977)2+2⋅23977+1⇔B2=(23977)2+2⋅23977+1⇔B2=(23977+1)2⇔B2=(23977+1)2( đúng )Vậy k=3977⇒n=3977+27=4004k=3977⇒n=3977+27=4004( thỏa )+) Xét n≤27n≤27 nên hiển nhiên n≤4004n≤4004Suy ra n lớn nhất để A là số chính phương thì n=4004Nếu thấy đúng thì k cho mình nha

Đoàn Đức Hà · Answer

$A=4^{27}+4^{2016}+4^n$Với $n\ge27$: $A=4^{27}\left(1+4^{1989}+4^{n-27}\right)$$A$là số chính phương suy ra $B=4^{n-27}+4^{1989}+1$là số chính phương.$B=\left(2^{n-27}\right)^2+2^{3978}+1$$=\left(2^{3977+n-4004}\right)^2+2.2^{3977}+1$Với $n=4004$thì: $B=\left(2^{3977}\right)^2+2.2^{3977}+1=\left(2^{3977}+1\right)^2$là số chính phương. Với $n>4004$thì: $B>\left(2^{3977+n-4004}\right)^2$$B< \left(2^{3977+n-4004}\right)^2+2.2^{3977+n-4004}+1$$=\left(2^{3977+n-4004}+1\right)^2$Suy ra $\left(2^{3977+n-4004}\right)^2< B< \left(2^{3977+n-4004}+1\right)^2$do đó $B$không là số chính phương. Vậy giá trị lớn nhất của $n$là $4004$.Câu trả lời: $A=4^{27}+4^{2016}+4^n$Với $n\ge27$: $A=4^{27}\left(1+4^{1989}+4^{n-27}\right)$$A$là số chính phương suy ra $B=4^{n-27}+4^{1989}+1$là số chính phương.$B=\left(2^{n-27}\right)^2+2^{3978}+1$$=\left(2^{3977+n-4004}\right)^2+2.2^{3977}+1$Với $n=4004$thì: $B=\left(2^{3977}\right)^2+2.2^{3977}+1=\left(2^{3977}+1\right)^2$là số chính phương. Với $n>4004$thì: $B>\left(2^{3977+n-4004}\right)^2$$B< \left(2^{3977+n-4004}\right)^2+2.2^{3977+n-4004}+1$$=\left(2^{3977+n-4004}+1\right)^2$Suy ra $\left(2^{3977+n-4004}\right)^2< B< \left(2^{3977+n-4004}+1\right)^2$do đó $B$không là số chính phương. Vậy giá trị lớn nhất của $n$là $4004$.

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP