P nguyên tố, pt sau có hai nghiệm nguyên:
\(x^2 + Px - 12P = 0 (1) \)
Có:\( Δ = P^2 + 48P = P(P + 48) \)
Vì pt có nghiệm nguyên nên Δ phải là số chính phương:
=> \(P(P + 48) = n^2\) (n nguyên)
=> \(P + 48 = \frac{n^2}{P}\) là số nguyên nên \(n^2\) chia hết cho P
Mà P là số nguyên tố nên => n chia hết cho P => đặt n = k.P (k nguyên)
Có:\( P(P + 48) = n^2 = k^2.P^2 \)
=> \(P + 48 = k^2.P \)
=> \(48 = (k^2 - 1).P\)
=> \((k^2 - 1).P = 3.2^4 (*) \)
Do P nguyên tố nên P chỉ có thể là 2 hoặc 3.
*Nếu P = 3 thay vào (*): \(k^2 - 1 = 2^4 = 16 \)
=> \(k^2 = 17\) => k không nguyên (trái giả thiết).
*P = 2 thay vào (*): \(k^2 - 1 = 24 => k^2 = 25\) thỏa.
Thử lại: với P = 2 ta có pt:
\(x^2 + 2x - 24 = 0\) rõ ràng có hai nghiệm nguyên là: x = 4 và x = - 6
Vậy P = 2

Phương trình có 2 nghiêm nguyên dương m, n. Khi đó mn=q, m+n=p, do q là số nguyên tố nên chỉ có 2 ước nguyên dương là 1, q. Do đó {m, n}={1; q}

Khi đó 1+q=p, do đó p, q khác tính chẵn lẻ, mà chỉ có 2 là số nguyên tố chẵn, do đó q=2, p=3

p²+q²=2²+3²=13 là số nguyên tố ( đọc)

Xét \(\Delta=p^2+4ap\inℕ^∗,\forall a,p\inℕ^∗\)

Để phương trình nhận nghiệm hữu tỉ thì \(\sqrt{\Delta}\)Phải là hữu tỉ hay có thể khẳng định rằng \(\Delta\)phải là số chính phương.

Ở đây ta chú ý rằng nếu x là số nguyên tố thì mọi số chính phương chia hết cho x buộc phải chia hết cho x²

( Điều này hiển nhiên khỏi chứng minh)

Vì \(\Delta⋮p\)mà p là số nguyên tố \(\Rightarrow\Delta=p^2+4ap⋮p^2\Rightarrow4a⋮p\)

---> Đặt \(4a=kp,k\inℕ^∗\)---> Thế vào \(\Delta\)

\(\Rightarrow\Delta=p^2+kp^2=p^2\left(1+k\right)\)là số chính phương khi và chỉ khi (1+k) là số chính phương

---> Đặt \(1+k=n^2\Rightarrow k=n^2-1,n\inℕ^∗\)---> Thế vào a

\(\Rightarrow a=\frac{\left(n^2-1\right)p}{4}\)

Thử lại: \(\Delta=p^2+4ap=p^2+\left(n^2-1\right)p^2=p^2.n^2=\left(pn\right)^2\)---> Là số chính phương

Kết luận: bla bla bla bla...... :)))

gọi 2 nghiệm của pt là a,b (a,b thuộc Z).

Theo Viet: a + b = -p; a.b = q
p + q = 198 => -(a+b) + ab + 1 = 199 => (a-1)(b-1) = 199 = 199.1 = 1.199 = -199.-1 = -1. -199

Giải các hệ để tìm a,b
(1) a-1=199 ; b-1 = 1  hay a=200, b=2
(2) a-1=1 ; b-1 = 199 hay a=2; b=200
(3) a-1=-1; b-1 = -199 hay a=0,b=-198
(4) a-1=-199;b-1=-1 hay a=-198;b=0

Để pt đã cho có nghiệm nguyên dương thì \(\Delta =p^2-4q\) là số chính phương.

Đặt \(p^2-4q=k^2\Leftrightarrow4q=\left(p-k\right)\left(p+k\right)\) với k là số tự nhiên.

Do p - k, p + k cùng tính chẵn, lẻ mà tích của chúng chẵn nên hai số này cùng chẵn.

Mặt khác p - k < p + k và q là số nguyên tố nên p - k = 2; p + k = 2q hoặc p - k = 4; p + k = q.

Nếu p - k = 4; p + k = q thì q chẵn do đó q = 2 (vô lí vì p + k > p - k).

Nếu p - k = 2; p + k = 2q thì 2p = 2q + 2 tức p = q + 1. Do đó q chẵn tức q = 2. Suy ra p = 3.

Thử lại ta thấy pt \(x^2-3x+2=0\) có nghiệm nguyên dương x = 1 và x = 2.

Vậy p = 3; q = 2.

ko bt

Ta có :

x² + x - p = 0

=> x.(x + 1) = p

x và x + 1 là 2 số nguyên liên tiếp nên x chẵn hoặc x + 1 chẵn

Do đó x.(x + 1) = p chẵn

Mà số nguyên tố chẵn duy nhất là 2 nên p = 2

Khi đó ta có x.(x + 1) = 2 = 1 . 2 = 1 . (1 + 1)

Vậy x = 1

Cách làm của Đinh Tuấn Việt chính xác! Tuy nhiên, kết quả còn thiếu x = - 2