\(B=n^5+n^4+1=n^5-n^2+n^4-n+n^2+n+1\)

\(=n^2\left(n-1\right)\left(n^2+n+1\right)+n\left(n-1\right)\left(n^2+n+1\right)+n^2+n+1\)

\(=\left(n^2+n+1\right)\left(n^3-n+1\right)\)

+) Với \(n=0\Rightarrow B=1\)không là số nguyên tố (loại)

+) Với \(n=1\Rightarrow B=3\)là số nguyên tố(thỏa mãn)

+) Với \(n\ge2\left(n\in N\right)\Rightarrow n^3-n+1\ge n^2+n+1\ge7\)

Do đó B là hợp số

 Vậy n=1 là giá trị cần tìm.

 Ta có:\(n^5+n^4+1=n^5+n^4+n^3-n^3+1\)

\(=n^3\left(n^2+n+1\right)-\left(n-1\right)\left(n^2+n+1\right)\)

\(=\left(n^2+n+1\right)\left(n^3-n-1\right)\)

Đk để là số nguyên tố thì:

\(n^2+n+1=1\)hoặc \(n^3-n-1=1\)

Xét \(n^2+n+1=1\Rightarrow n^2+n=0\Rightarrow\orbr{\begin{cases}n=1\left(tm\right)\\n=-1\left(ktm\right)\end{cases}}\)

Xét \(n^3-n+1=1\Rightarrow n^3-n=0\Rightarrow n\left(n^2-1\right)=0\)

                                                                \(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}n=0\left(tm\right)\\\orbr{\begin{cases}n=1\left(tm\Rightarrow\right)\\n=-1\left(ktm\right)\end{cases}}\end{cases}}\)\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}n=0\left(tm\right)\\n=1\left(tm\right);n=-1\left(ktm\right)\end{cases}}\)

Tại \(n=0\Rightarrow A=1\left(ktm\right)\)Vì 1 không phải số ngto

Tại\(n=1\Rightarrow A=3\left(tm\right)\)vì 3 là số ngto

Vậy ...

pt đa thức thành nhân tử 
cho 1 cái =1, 1 cách = chính nó. xong
 

Lời giải:

Nếu $n$ chẵn thì \(n^4+4^n\) chẵn. Hiển nhiên \(n\neq 0\) nên \(n^4+4^n>2\). Do đó \(n^4+4^n\) không thể là số nguyên tố

Nếu $n$ lẻ:

\(n^4+4^n=(n^2+2^n)^2-2^{n+1}n^2=(n^2+2^n-2^{\frac{n+1}{2}}n)(n^2+2^n+2^{\frac{n+1}{2}}n)\)

Do $n$ lẻ nên \(\frac{n+1}{2}\in\mathbb{N}\). Do đó mỗi thừa số đều là số nguyên dương.

Vì \(n^4+4^n\in\mathbb{P}\Rightarrow \) một trong hai thừa số trên phải bằng $1$. Hiển nhiên

\(n^2+2^n-2^{\frac{n+1}{2}}n=1\)

Bằng quy nạp, ta sẽ CM rằng \(2^\frac{n-1}{2}>n\) với \(n\geq 7\) $(1)$

Thật vậy:

Với \(n=7,8,...\) điều trên đúng. Giả sử nó đúng với \(n=k\) tức là \(2^\frac{k-1}{2}>k\)

Khi đó ta có \(2^{\frac{k+1-1}{2}}=2^{\frac{k-1}{2}}.2^{\frac{1}{2}}>2^{\frac{1}{2}}k>k+1\) với mọi \(k\geq 7\)

Do đó ta có $(1)$ Suy ra với \(n\geq 7 \Rightarrow n^2+2^n-2^{\frac{n+1}{2}}n>n^2>1\) ( vô lý)

\(\Rightarrow n<7\). Thử \(n=1,3,5\) có \(n=1\) thỏa mãn. Khi đó \(n^4+4^n=5\in\mathbb{P}\)

Vậy $n=1$

\(\)

có cách khác ngắn hơn không bạn?

Ta dựa vào nhận xét sau đây: Nếu \(p\) là số nguyên tố và \(p=ab\)  với a,b là các số nguyên dương thì a=1 hoặc b=1. Ta có

\(A=n^4+4\cdot2^{4k}=\left(n^2\right)^2+2\cdot n^2\cdot2^{2k+1}+\left(2^{2k+1}\right)^2-2^{2k+2}\cdot n^2\)

\(=\left(n^2+2^{2k+1}\right)^2-\left(2^{k+1}\cdot n\right)^2=\left(n^2+2^{2k+1}-2^{k+1}\cdot n\right)\left(n^2+2^{2k+1}+2^{k+1}n\right).\)

Vì A là số nguyên tố và \(n^2+2^{2k+1}-2^{k+1}\cdot n<\)\(n^2+2^{2k+1}+2^{k+1}\cdot n\).  Suy ra \(n^2+2^{2k+1}-2^{k+1}\cdot n=1\).  Suy ra  \(\left(n-2^k\right)^2+2^{2k}=1\to n=2^k,2^{2k}=1\to k=0,n=1.\)   Khi đó A=1+4=5 là số nguyên tố.

^^ đang nghĩ

Câu hỏi lớp 9 cậu đăng lên h.vn thì tốt hơn

Minh Triều em nghĩ anh tìm các số nguyên tố là được. Tính cũng dễ hơn.

Để A = n⁴ + 4^2k+1 là số nguyên tố <=> ƯC ( n⁴ ; 4^2k+1 ) = 1

=> n⁴ và 4^2k+1 chỉ có 1 ước nguyên dương

=> ( 4 + 1 )( 2k + 1 + 1 ) = 1

=> 5.( 2k + 2 ) = 1 => 10k + 10 = 1

=> 10k = - 9 => k = - 9/10

Theo đề , n và k là số tự nhiên

=> n ; k ∈ ∅

Đinh Đức Hùng vậy khi n=1 và k=0

số đó là 1