Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\Rightarrow\left(n+3\right)\left(n^3+2n^2+1\right)\) cũng là SCP
\(\Rightarrow4\left(n^4+5n^3+6n^2+n+3\right)\) là SCP
\(\Rightarrow4n^4+20n^3+24n^2+4n+12=k^2\)
Ta có:
\(4n^4+20n^3+24n^2+4n+12=\left(2n^2+5n-1\right)^2+3n^2+14n+11>\left(2n^2+5n-1\right)^2\)
\(4n^4+20n^3+24n^2+4n+12=\left(2n^2+5n+1\right)^2-\left(n-1\right)\left(5n+11\right)\le\left(2n^2+5n+1\right)^2\)
\(\Rightarrow\left(2n^2+5n-1\right)^2< k^2\le\left(2n^2+5n+1\right)^2\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}4n^4+20n^3+24n^2+4n+12=\left(2n^2+5n\right)^2\\4n^4+20n^3+24n^2+4n+12=\left(2n^2+5n+1\right)^2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}n^2-4n-12=0\\\left(n-1\right)\left(5n+11\right)=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}n=1\\n=6\end{matrix}\right.\)
Thay lại kiểm tra thấy đều thỏa mãn
\(\Leftrightarrow4.25^x-4.5^x+1=4y^4+8y^3+12y^2+16y+41\)
\(\Leftrightarrow\left(2.5^x-1\right)^2=4y^4+8y^3+12y^2+16y+41\)
Ta có:
\(4y^4+8y^3+12y^2+16y+41=\left(2y^2+2y+2\right)^2+8y+37>\left(2y^2+2y+2\right)^2\)
\(4y^4+8y^3+12y^2+16y+41=\left(2y^2+2y+5\right)^2+4\left(y-1\right)\left(3y+4\right)\ge\left(2y^2+2y+5\right)^2\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}4y^4+8y^3+12y^2+16y+41=\left(2y^2+2y+3\right)^2\\4y^4+8y^3+12y^2+16y+41=\left(2y^2+2y+4\right)^2\\4y^4+8y^3+12y^2+16y+41=\left(2y^2+2y+5\right)^2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y^2-y-8=0\left(\text{không có nghiệm nguyên}\right)\\8y^2-25=0\left(\text{không có nghiệm nguyên}\right)\\\left(y-1\right)\left(3y+4\right)=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow y=1\)
Thế vào pt ban đầu: \(25^x-5^x=20\)
Đặt \(5^x=t>0\Rightarrow t^2-t-20=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=5\\t=-4\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow5^x=5\Rightarrow x=1\)
\(P=n^3+7n^2+25n+39=\left(n+3\right)\left(n^2+4n+13\right)\)
Hiển nhiên \(\left\{{}\begin{matrix}n+3>1\\n^2+4n+13>1\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n+3=p^a\\n^2+4n+13=p^b\end{matrix}\right.\) với \(b>a>0\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n+3⋮p\\n^2+4n+13⋮p\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow n^2+4n+13-\left(n+3\right)\left(n+1\right)⋮p\)
\(\Rightarrow10⋮p\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}p=2\\p=5\end{matrix}\right.\)
- TH1: \(p=2\Rightarrow n+3=2^a\)
Do n nguyên dương \(\Rightarrow n+3\ge4\Rightarrow a\ge2\Rightarrow2^a⋮4\)
\(\Rightarrow n+3⋮4\Rightarrow n=4k+1\)
Đồng thời \(n^2+4n+13=2^b\), hiển nhiên \(b>2\Rightarrow n^2+4n+13⋮4\)
\(\Rightarrow\left(4k+1\right)^2+4\left(4k+1\right)+13⋮4\)
\(\Rightarrow4k\left(4k+6\right)+18⋮4\) (vô lý)
\(\Rightarrow p=2\) không thỏa mãn
TH2: \(p=5\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n+3=5^a\\n^2+4n+13=5^b\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(n+1\right)\left(n+3\right)+10=5^b\)
\(\Rightarrow5^a\left(5^a-2\right)+10=5^b\)
\(\Rightarrow5^{a-1}\left(5^a-2\right)+2=5^{b-1}\)
- Với \(a=1\Rightarrow b=2\)
- Với \(a>1\Rightarrow\) vế trái chia 5 dư 2, vế phải chia hết cho 5
\(\Rightarrow\) Không tồn tại a;b nguyên thỏa mãn
Vậy \(a=1\Rightarrow n=5^1-3=2\)
