Đặt $a^2=2^x+5^y$

-Nếu x=0$\Rightarrow 1+5^y=a^2\Rightarrow 5^y=(a-1)(a+1)\Rightarrow \{\begin{array}{c}a+1=5^m\\ a-1=5^n\end{array}(m,n\in N,m+n=y,m>n)\Rightarrow 2=5^m-5^n=5^n(5^{m-n}-1)$

Nếu n=0$\to 5^m-1=2\Rightarrow 5^m=3$ (vô lý)

Nếu n$\ne 0$ thì vế phải chia hết cho 5, vế trái không chia hết cho 5$\to$ loại

Tương tự, thử lần lượt x=1;2;3 để tìm nghiệm.

-Nếu x>3

  +) Với y lẻ: Đặt y=2k+1 (k$\in$N). Ta có: $a^2=2^x+5^{2k+1}\equiv 0+{25}^k.5\equiv 1^k.5=5$(mod 8)$\Rightarrow$$a^2$ không là số chính phương$\to$ loại.

  +) Với y chẵn: Đặt y=2k (k$\in$N)$\Rightarrow 2^x+5^{2k}=a^2\Rightarrow 2^x=(a-5^k)(a+5^k)\Rightarrow \{\begin{array}{c}a+5^k=2^b\\ a-5^k=2^c\end{array}(b,c\in N,b+c=x,b>c)\Rightarrow {2.5}^k=2^b-2^c=2^c(2^{b-c}-1)\Rightarrow 2^b=2\Rightarrow b=1\Rightarrow 2^{c-1}-1=5^k\Rightarrow 2^{c-1}=5^k+1\equiv 1^k+1=2$(mod 4)$\Rightarrow 2^{c-1}=2\Rightarrow c=2\Rightarrow x=2+1=3$(loại, vì x>3)

2,Giải: 

♣ Ta thấy p = 2 thì 2p + 1 = 5 không thỏa = n³ 

♣ Nếu p > 2 => p lẻ (Do Số nguyên tố chẵn duy nhất là 2 ) 
Mặt khác : 2p + 1 là 1 số lẻ => n³ là một số lẻ => n là một số lẻ 

=> 2p + 1 = (2k + 1)³ ( với n = 2k + 1 ) 
<=> 2p + 1 = 8k³ + 12k² + 6k + 1 
<=> p = k(4k² + 6k + 3) 

=> p chia hết cho k 
=> k là ước số của số nguyên tố p. 

Do p là số nguyên tố nên k = 1 hoặc k = p 

♫ Khi k = 1 
=> p = (4.1² + 6.1 + 3) = 13 (nhận) 

♫ Khi k = p 
=> (4k² + 6k + 3) = (4p² + 6p + 3) = 1 
Do p > 2 => (4p² + 6p + 3) > 2 > 1 
=> không có giá trị p nào thỏa. 

Đáp số : p = 13

n^2+n+6=k^2

4n^2+4n+24=4k^2

(2n+1)^2-(2k)^2=-23

(2n+1-2k)(2n+1+2k)=-23

Đến đây bạn tự giải tiếp nhé

=2

=2