Nguyễn Minh Phương: đậm chất trẻ trâu,giỏi thì làmđi

Gọi a, b, c là số đo 3 cạnh của tam giác vuông cần tìm. Giả sử 1≤a≤b<c1≤a≤b<c
Ta có hệ phương trình : {a2+b2=c2(1)ab=2(a+b+c)(2){a2+b2=c2(1)ab=2(a+b+c)(2)

Từ (1)  c2=(a+b)2−2abc2=(a+b)2−2ab

⇔c2=(a+b)2−4(a+b+c)⇔c2=(a+b)2−4(a+b+c) (theo (2))
⇔(a+b)2−4(a+b)=c2+4c⇔(a+b)2−4(a+b)=c2+4c
(a+b−2)2=(c+2)2(a+b−2)2=(c+2)2
c = a + b − 4.
Thay vào (2) ta được: ab = 2(a + b + a + b − 4)
ab −4a−4b + 8 = 0

⇔⇔ b(a −4) −4(a−4) = 8

⇔⇔(a −4)(b−4) = 8

Phân tích 8 = 1.8 = 2.4 nên ta có:

{a=5b=12{a=5b=12 hoac {a=6b=8{a=6b=8

Từ đó ta có 2 tam giác vuông có các cạnh (5;12;13):(6;8;10)

Gọi a, b, c là số đo 3 cạnh của tam giác vuông cần tìm. Giả sử $1\le a\le b<c$
Ta có hệ phương trình : 

$\begin{array}{c}{\mathrm{a^}}^2+{\mathrm{b^}}^2={\mathrm{c^}}^2\left(1\right)\end{array}$

$\begin{array}{c}ab=2(a+b+c)\left(2\right)\end{array}$

Từ (1) ${\mathrm{c^}}^2={(a+b)^}^2-2ab$

$\iff {\mathrm{c^}}^2=(a+b{)^}^2-4(a+b+c)\; [$theo (2)]
$\iff (a+b{)^}^2-4(a+b)={\mathrm{c^}}^2+4c$
$(a+b-2{)^}^2=(c+2{)^}^2$
c = a + b − 4.
Thay vào (2) ta được: ab = 2(a + b + a + b − 4)
ab − 4a−4b + 8 = 0

 b(a −4) − 4(a−4) = 8

(a −4)(b−4) = 8

Phân tích 8 = 1.8 = 2.4 nên ta có:

$\begin{array}{c}a=\mathrm{5;}\\ b=12\end{array}$hoặc $\begin{array}{c}a=\mathrm{6;}\\ b=8\end{array}$

Từ đó ta có 2 tam giác vuông có các cạnh (5;12;13):(6;8;10)

hay

Gọi x,y,z là các cạnh của tam giác vuông \(1\le x\le y< z\)

Ta có: \(\hept{\begin{cases}x^2+y^2=z^2\left(\cdot\right)\\xy=2\left(x+y+z\right)\left(\cdot\cdot\right)\end{cases}}\)

Từ \(\left(\cdot\right)\)ta có: \(z^2=\left(x+y\right)^2-2xy=\left(x+y\right)^2-4\left(x+y+z\right)=\left(x+y\right)^2-4\left(x+y\right)-4z\)

\(\Leftrightarrow z^2+4z+4=\left(x+y^2\right)-4\left(x+y\right)+4\Leftrightarrow\left(z+2\right)^2=\left(x+y+2\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x+y-2=z+2\left(vi,x+y\ge2\right)\)

Thay z = x + y - 4 vào \(\left(\cdot\cdot\right)\)ta được

\(\left(x-4\right)\left(y-4\right)=8\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-4=1\\y-4=8\end{cases}hoac\hept{\begin{cases}x-4=2\\y-4=4\end{cases}\left(vi,y\ge x\right)}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=5\\y=12\end{cases}hoac\hept{\begin{cases}x=6\\y=8\end{cases}}}\)

Vậy độ dài các cạnh tam giác vuông cần tìm là: 5,12,13 hoặc 6,8,10.