Ta có \(y=\left(m+1\right)x+m\left(m+1\right)+\frac{m^3}{x-m}\) suy ra tiệm cận xiên của \(\left(C_m\right)\) là đường thẳng d có phương trình \(y=\left(m+1\right)x+m\left(m+1\right)\)

Giả sử d luôn tiếp xúc với Parabol (P) : \(y=ax^2+bx+c;\left(a\ne0\right)\) khi đó phương trình sau có nghiệm bội với mọi m :

   \(ax^2+bx+c=\left(m+1\right)x+m\left(m+1\right)\)

\(\Leftrightarrow ax^2+\left(b-m-1\right)x+c-m^2-m=0\)(*)

\(\Leftrightarrow\Delta=\left(m+1-b\right)^2-4a\left(c-m^2-m\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(1+4a\right)m^2+2\left[\left(1-b\right)+2a\right]m+\left(1-b\right)^2-4ac=0\) với mọi m

\(\Leftrightarrow\begin{cases}1+4a=0\\\left(1-b\right)+2a=0\\\left(1-b\right)^2-4ac=0\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}a=-\frac{1}{4}\\b=\frac{1}{2}\\c=-\frac{1}{4}\end{cases}\)

\(\Rightarrow\left(P\right):y=-\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\)

Vậy d luôn tiếp xúc với Parabol (P) \(y=-\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\)

Giả sử \(M\left(x_0;y_0\right)\) là điểm mà d không đi qua, khi đó phương trình :

\(y_0=\left(m+1\right)x_0+m^2+m\Leftrightarrow m^2+\left(x_0+1\right)m+x_0-y_0=0\) vô nghiệm với mọi m

                                         \(\Leftrightarrow\Delta=\left(x_0+1\right)^2-4x_0+4y_0< 0\)

                                        \(\Leftrightarrow y_0< -\frac{1}{4}x_0^2+\frac{1}{2}x_0-\frac{1}{4}\)

Ta dễ dàng chứng minh được d luôn tiếp xúc với Parabol

\(\left(P\right):y=-\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\)

Giả sử \(\left(C_m\right)\) luôn tiếp xúc với đường thẳng \(y=ax+b\), khi đó phương trình sau có nghiệm với mọi m :

    \(\begin{cases}\frac{\left(3m+1\right)x+m-m^2}{x+m}=ax+b\\\frac{4m^2}{\left(x+m\right)^2}=a\end{cases}\)   \(\Leftrightarrow\begin{cases}3m+1-\frac{4m^2}{x+m}=a\left(x+m\right)am+b\\\frac{4m^2}{\left(x+m\right)^2}=a\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}\frac{8m^2}{x+m}=am+3m+1-b\\\frac{4m^2}{\left(x+m\right)^2}=a\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\frac{\left(am+3m+1-b\right)^2}{16m^2}=a\) với mọi m

\(\Leftrightarrow\left(a^2-10a+9\right)m^2+2\left(a+3\right)\left(1-b\right)m+\left(1-b\right)^2=0\) với mọi m

\(\Leftrightarrow\begin{cases}a^2-10a+9=0\\\left(a+3\right)\left(1-b\right)=0\\\left(1-b\right)^2=0\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}a=1;a=9\\b=1\end{cases}\)

Vậy \(\left(C_m\right)\) luôn tiếp xúc với 2 đường thẳng \(y=x+1;y=9x+1\)

Giả sử \(M\left(x_0;y_0\right)\) là điểm mà họ \(\Delta_{\alpha}\) không đi qua. Khi đó phương trình sau vô nghiệm với mọi m : \(m^2-2\left(x^3_0+x_0\right)m+y_0+x^2_0-x_0-2=0\)

           \(\Leftrightarrow\Delta'=\left(x^3_0+x_0\right)^2-\left(y_0+x^2_0-x_0-2\right)< 0\)

           \(\Leftrightarrow y_0>x^6_0+2x^4_0+x_0+2\)

Xét phương trình : \(2mx^3-x^2+\left(2m+1\right)x-m^2+2=x^6+2x^4+x+2\)

                       \(\Leftrightarrow m^2-2\left(x^3+x\right)m+\left(x^3+x\right)^2=0\)

                       \(\Leftrightarrow\left(x^3+x-m\right)^2=0\) (*)

Vì phương trình \(x^3+x-m=0\) luôn có nghiệm nên (*) luôn có nghiệm bội.

Vậy \(\left(C_m\right)\) luôn tiếp xúc với đường cong \(y=x^6+2x^4+x+2\)

a. Tiếp tuyến của \(\left(C_m\right)\) tại điểm có hoành độ x = 1 có phương trình :

\(y=\left(m-2\right)\left(x-1\right)+3m-2=\left(m-2\right)x+3m\)

Yêu cầu của bài toán khi và chỉ khi \(\begin{cases}m-2=3\\2m\ne10\end{cases}\) vô nghiệm

Vậy không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu bài toán

b. Ta có \(y'=3\left(x^2-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}\right)+m-\frac{7}{3}=3\left(x-\frac{2}{3}\right)^2+m-\frac{7}{3}\)

Suy ra \(y'\ge m-\frac{7}{3}\)

Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ \(x=\frac{2}{3}\) có hệ số góc nhỏ nhất và hệ số góc có giá trị \(k=m-\frac{7}{3}\)

Yêu cầu bài toán \(\Leftrightarrow k.2=-1\Leftrightarrow\left(m-\frac{7}{3}\right).2=-1\Leftrightarrow m=\frac{11}{6}\)

Ta có : \(A\left(0;\frac{1}{3}\right)\) và \(y'=4x^2-2\left(2m+1\right)x+m+2\)

Suy ra \(y'\left(0\right)=m+2\)

Tiếp tuyến của d cắt Ox tại \(B\left(-\frac{1}{3m+6};0\right)\) (m=-2 không thỏa mãn yêu cầu bài toán)

Khi đó diện tích của tam giác tạo bởi d với 2 trục tọa độ là :

\(S=\frac{1}{2}OA.OB=\frac{1}{2}.\frac{1}{3}.\left|\frac{-1}{3m+6}\right|=\frac{1}{18\left|m+2\right|}\)

Theo giả thiết ta có : \(\frac{1}{18\left|m+2\right|}=\frac{1}{3}\Leftrightarrow\left|m+2\right|=\frac{1}{6}\)

                                                  \(\Leftrightarrow m=-\frac{13}{6}\) hoặc \(m=-\frac{11}{6}\)

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left(\Delta_m\right)\) và \(\left(C_m\right)\) được viết thành :

    \(\left(x+1\right)\left(x^2-3mx+2m^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x-m\right)\left(x-2m\right)=0\)

\(\Rightarrow\) Giao điểm của  \(\left(\Delta_m\right)\) và \(\left(C_m\right)\)  gồm \(A\left(-1;-m-m^2\right);B\left(m;0\right)\) và \(C\left(2m;m^2\right)\), trong số đó, A là điểm duy nhất có hoành độ không đổi (khi m thay đổi)

Đặt \(f_m\left(x\right)=x^3-\left(3m-1\right)x^2+2m\left(m-1\right)x+m^2\)

Các tiếp tuyến của  \(\left(C_m\right)\)  tại B và C lần lượt là các đường thẳng :

\(\left(\Delta_B\right):y=f_m'\left(x_B\right)x+y_b-f_m'\left(x_B\right)x_B\)

\(\left(\Delta_C\right):y=f_m'\left(x_C\right)x+y_C-f_m'\left(x_C\right)x_C\)

Ta cần tìm m để B và C cùng khác A và \(\Delta_B\backslash\backslash\Delta_C\), tức là :

\(\begin{cases}x_B\ne x_A\\x_C\ne x_A\\f'_m\left(x_B\right)=f'_m\left(x_C\right)\\y_B-f'_m\left(x_B\right)x_B\ne y_C-f'_m\left(x_C\right)x_C\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}m\ne-1\\m\ne-\frac{1}{2}\\-m^2=2m^2+2m\\m^3\ne-4m^3-3m^2\end{cases}\)

                                                        \(\Leftrightarrow m=-\frac{2}{3}\)

Tập xác định \(D=R\backslash\left\{2-m\right\}\)

Ta có : \(y'=\frac{m^2-2m-1}{\left(x+m-2\right)^2}\)

a) Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 1 song song với đường thẳng :

\(y=x+1\) khi \(y'\left(1\right)=-1\Leftrightarrow\frac{m^2-2m-1}{\left(x+m-2\right)^2}=-1\Leftrightarrow m=0;m=2\)

* Với m = 0 ta có phương trình tiếp tuyến \(y=-\left(x-1\right)-1=-x\)

* Với m = 2 ta có phương trình tiếp tuyến \(y=-\left(x-2\right)+3=-x+5\)

Vậy m = 0 là giá trị cần tìm

b) G\(m\ge1+\sqrt{2};m\le1-\sqrt{2}\)ọi \(M\left(x_0;y_0\right)\) là tiếp điểm. Ta có \(y'\left(x_0\right)=-\frac{1}{2}\)

\(\frac{m^2-2m-1}{\left(x_0+m-2\right)^2}=-\frac{1}{2}\) (*)

Yêu cầu bài toán suy ra (*) vô nghiệm, điều đó xảy ra khi :

\(m^2-2m-1\ge0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}m\ge1+\sqrt{2}\\m\le1-\sqrt{2}\end{array}\right.\)

Vậy giá trị cần tìm là \(m\le1-\sqrt{2};m\ge1+\sqrt{2}\)

Ta có : \(y'\left(x\right)=4mx^3+\left(6m+\frac{1}{12}\right)x\)

Ta có hệ số góc các tiếp tuyến \(\left(C_m\right)\) tại A và B lần lượt là :

\(y'\left(-1\right)=-10m-\frac{1}{12}\) và \(y'\left(2\right)=44m+\frac{1}{6}\)

Do đó các tiếp tuyến của \(\left(C_m\right)\) tại A và B vuông góc với nhau khi và chỉ khi :

\(y'\left(-1\right).y'\left(2\right)=-1\Leftrightarrow\left(-10m-\frac{1}{12}\right)\left(44m+\frac{1}{6}\right)=-1\)

                            \(\Leftrightarrow440m^2+\frac{16}{3}m-\frac{71}{72}=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}m=\frac{1}{24}\\m=-\frac{71}{1320}\end{array}\right.\)

Vậy giá trị cần tìm là \(\begin{cases}m=\frac{1}{24}\\m=-\frac{71}{1320}\end{cases}\)

Phương trình \(\left(C_m\right)\) viết lại: 

\(y=\left(x-m+2\right)^3-3\left(x-m+2\right)\)

Họ đồ thị hàm \(\left(C_m\right)\) đơn giản là đồ thị hàm \(y=x^3-3x\) tịnh tiến song song với trục Ox, do đó họ đồ thị này luôn tiếp xúc với các tiếp tuyến tại cực trị của \(y=x^3-3x\) (là hai đường thẳng \(y=\pm2\))

Vậy họ đường cong \(\left(C_m\right)\) luôn tiếp xúc với 2 đường thẳng cố định \(y=\pm2\)