1, Phương trình tương đương

\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}sin2x-\dfrac{1}{2}cos2x=1\)

⇔ \(sin\left(2x-\dfrac{\pi}{6}\right)=1\)

⇔ \(2x-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{2}+k.2\pi\)

⇔ x = \(\dfrac{\pi}{3}+k.\pi\)

2, \(2cos3x+3sin3x-2\)

= \(\sqrt{13}\)\((\dfrac{2}{\sqrt{13}}cos3x+\dfrac{3}{\sqrt{13}}sin3x)\) - 2

Do \(\left(\dfrac{2}{\sqrt{13}}\right)^2+\left(\dfrac{3}{\sqrt{13}}\right)^2=1\) nên tồn tại 1 góc a sao cho \(\left\{{}\begin{matrix}sina=\dfrac{2}{\sqrt{13}}\\cosa=\dfrac{2}{\sqrt{13}}\end{matrix}\right.\)

BT = \(\sqrt{13}sin\left(x+a\right)-2\)

Do - 1 ≤ sin (x + a) ≤ 1 với mọi x và a

⇒ \(-\sqrt{13}-2\le BT\le\sqrt{13}-2\)

⇒ \(-5,6< BT< 1,6\)

Vậy BT nhận 5 giá trị nguyên trong tập hợp S = {-5 ; -4 ; -3 ; -2 ; -1}

3. \(msinx-cosx=\sqrt{5}\)

⇔ \(\dfrac{m}{\sqrt{m^2+1}}.sinx-\dfrac{1}{\sqrt{m^2+1}}.cosx=\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{m^2+1}}\)

⇔ sin(x - a) = \(\sqrt{\dfrac{5}{m^2+1}}\) với \(\left\{{}\begin{matrix}sina=\dfrac{1}{\sqrt{m^2+1}}\\cosa=\dfrac{m}{\sqrt{m^2+1}}\end{matrix}\right.\)

Điều kiện có nghiệm : \(\left|\sqrt{\dfrac{5}{m^2+1}}\right|\le1\)

⇔ m² + 1 ≥ 5 

⇔ m² - 4 ≥ 0

⇔ \(\left[{}\begin{matrix}m\ge2\\m\le-2\end{matrix}\right.\)

1.

a, Phương trình có nghiệm khi: 

\(\left(m+2\right)^2+m^2\ge4\)

\(\Leftrightarrow m^2+4m+4+m^2\ge4\)

\(\Leftrightarrow2m^2+4m\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m\ge0\\m\le-2\end{matrix}\right.\)

b, Phương trình có nghiệm khi:

\(m^2+\left(m-1\right)^2\ge\left(2m+1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2m^2+6m\le0\)

\(\Leftrightarrow-3\le m\le0\)

2.

a, Phương trình vô nghiệm khi:

\(\left(2m-1\right)^2+\left(m-1\right)^2< \left(m-3\right)^2\)

\(\Leftrightarrow4m^2-4m+1+m^2-2m+1< m^2-6m+9\)

\(\Leftrightarrow4m^2-7< 0\)

\(\Leftrightarrow-\dfrac{\sqrt{7}}{2}< m< \dfrac{\sqrt{7}}{2}\)

b, \(2sinx+cosx=m\left(sinx-2cosx+3\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(m-2\right)sinx-\left(2m+1\right)cosx=-3m\)

 Phương trình vô nghiệm khi:

\(\left(m-2\right)^2+\left(2m+1\right)^2< 9m^2\)

\(\Leftrightarrow m^2-4m+4+4m^2+4m+1< 9m^2\)

\(\Leftrightarrow m^2-1>0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m>1\\m< -1\end{matrix}\right.\)

Đáp án D

→  (1) có 2 nghiệm thuộc

Để phương trình có đúng 8 nghiệm thuộc khoảng thì (2) phải có đúng 6 nghiệm phân biệt thuộc và khác  x 1 ; x 2

Đặt  t = cos x ( - 1 ≤ x ≤ 1 ) , (2) trở thành  f ( t ) = 4 t 2 - 2 t + m - 3 = 0   ( 3 )

+ Nếu 0 < t < 1  thì phương trình cosx=t có 3 nghiệm phân biệt thuộc

+ Nếu  - 1 < t < 0 thì phương trình cosx=t có 2 nghiệm phân biệt thuộc khoảng

Do đó (2) có đúng 6 nghiệm phân biệt thuộc

⇔ (3) có 2 nghiệm  t 1 ; t 2 thỏa mãn  0 < t 1 < t 2 < 1

Hướng dẫn giải

Chọn B

Đặt t= sinx. Điều kiện t ∈ - 1 ;   1 . Phương trình trở thành:

t² + 2(m+1) t – 3m( m- 2)= 0   (1)

  Đặt f(t) = t² + 2(m+ 1) t – 3m( m- 2) .

Phương trình có nghiệm thuộc đoạn [-1; 1] khi  và chỉ khi (1) có một nghiệm thuộc [-1; 1] hoặc có hai nghiệm thuộc [-1; 1]