Câu 2/ 

\(\frac{1}{x^2\left(x^2+y^2\right)}+\frac{1}{\left(x^2+y^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)}+\frac{1}{x^2\left(x^2+y^2+z^2\right)}=1\)

Điều kiện \(\hept{\begin{cases}x^2\ne0\\x^2+y^2\ne0\\x^2+y^2+z^2\ne0\end{cases}}\)

Xét \(x^2,y^2,z^2\ge1\)

Ta có: \(\hept{\begin{cases}x^2\ge1\\x^2+y^2\ge2\end{cases}}\)

\(\Rightarrow x^2\left(x^2+y^2\right)\ge2\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x^2\left(x^2+y^2\right)}\le\frac{1}{2}\left(1\right)\)

Tương tự ta có: \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{\left(x^2+y^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)}\le\frac{1}{6}\left(2\right)\\\frac{1}{x^2\left(x^2+y^2+z^2\right)}\le\frac{1}{3}\left(3\right)\end{cases}}\)

Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta được

\(\frac{1}{x^2\left(x^2+y^2\right)}+\frac{1}{\left(x^2+y^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)}+\frac{1}{x^2\left(x^2+y^2+z^2\right)}\le\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{3}=1\)

Dấu = xảy ra  khi \(x^2=y^2=z^2=1\)

\(\Rightarrow\left(x,y,z\right)=?\)

Xét \(\hept{\begin{cases}x^2\ge1\\y^2=z^2=0\end{cases}}\) thì ta có

\(\frac{1}{x^4}+\frac{1}{x^4}+\frac{1}{x^4}=1\)

\(\Leftrightarrow x^4=3\left(l\right)\)

Tương tự cho 2 trường hợp còn lại: \(\hept{\begin{cases}x^2,y^2\ge1\\z^2=0\end{cases}}\) và \(\hept{\begin{cases}x^2,z^2\ge1\\y^2=0\end{cases}}\)

Bài 2/

Ta có:  \(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{t}+\frac{t}{x}\ge4\sqrt[4]{\frac{x}{y}.\frac{y}{z}.\frac{z}{t}.\frac{t}{x}}=4>3\)

Vậy phương trình không có nghiệm nguyên dương.

hộ mk vs mai mk nộp oy

=> \(\left(x-\frac{1}{x}\right)^2+\left(y-\frac{1}{y}\right)^2=0=>\)

\(\hept{\begin{cases}y-\frac{1}{y}=0\orbr{\begin{cases}y=1\\y-1\end{cases}}\\x-\frac{1}{x}=0\orbr{\begin{cases}x=1\\x=-1\end{cases}}\end{cases}}\)

=>

x=+-1

y=+-1

\(x^2+y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=4\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2+\frac{1}{x^2}\right)+\left(y^2-2+\frac{1}{y^2}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-\frac{1}{x}\right)^2+\left(y-\frac{1}{y}\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{x}\\y=\frac{1}{y}\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2=1\\y^2=1\end{cases}}\)

<=> (x, y) = (1,1;1,-1;-1,1;-1,-1)

Theo bài ra , ta có : 

\(x^2+y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=4\)

\(\Leftrightarrow x^2+\frac{1}{x^2}+y^2+\frac{1}{y^2}=4\)

\(\Leftrightarrow x^2+2+\frac{1}{x^2}+y^2+2+\frac{1}{y^2}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x+\frac{1}{x}\right)^2=0\\\left(y+\frac{1}{y}\right)^2=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+\frac{1}{x}=0\\y+\frac{1}{y}=0\end{cases}}\)

Ta tiếp tục xét 

\(x+\frac{1}{x}=\frac{x^2+1}{x}\) ( Luôn luôn khác 0 ) 

\(y+\frac{1}{y}=\frac{y^2+1}{y}\) ( Luôn luôn khác 0 ) 

Vậy pt vô nghiệm 

Vậy S{rỗng} 

Chúc bạn học tốt =)) 

S{rỗng} à

bạn thử cho (x,y)=+-1 vào xem thế nào?

Đề bài :

\(x^2+y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=4\)

\(1,\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3}+\frac{z^2}{4}=\frac{x^2+y^2+z^2}{5}=\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{5}+\frac{z^2}{5}\)

\(=>\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3}+\frac{z^2}{4}-\left(\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{5}+\frac{z^2}{5}\right)=0\)

\(=>\left(\frac{x^2}{2}-\frac{x^2}{5}\right)+\left(\frac{y^2}{3}-\frac{y^2}{5}\right)+\left(\frac{z^2}{4}-\frac{z^2}{5}\right)=0\)

\(=>\left(\frac{5x^2}{10}-\frac{2x^2}{10}\right)+\left(\frac{5y^2}{15}-\frac{3y^2}{15}\right)+\left(\frac{5z^2}{20}-\frac{4z^2}{20}\right)=0\)

\(=>\frac{3}{10}x^2+\frac{2}{15}y^2+\frac{1}{20}z^2=0\)

Tổng 3 số không âm=0 <=> chúng đều=0

\(< =>\frac{3}{10}x^2=\frac{2}{15}y^2=\frac{1}{20}z^2=0< =>x=y=z=0\)

Vậy x=y=z=0

\(2,x^2+y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=4\)

\(=>x^2+y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}-4=0\)

\(=>\left(x^2+\frac{1}{x^2}-2\right)+\left(y^2+\frac{1}{y^2}-2\right)=0\)

\(=>\left(x^2-2+\frac{1}{x^2}\right)+\left(y^2-2+\frac{1}{y^2}\right)=0\)

\(=>\left(x^2-2.x.\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)+\left(y^2-2.y.\frac{1}{y}+\frac{1}{y^2}\right)=0\)

\(=>\left(x-\frac{1}{x}\right)^2+\left(y-\frac{1}{y}\right)^2=0\)

Tổng 2 số không âm=0 <=> chúng đều=0

\(< =>\hept{\begin{cases}x-\frac{1}{x}=0\\y-\frac{1}{y}=0\end{cases}< =>\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{x}\\y=\frac{1}{y}\end{cases}< =>\hept{\begin{cases}x^2=1\\y^2=1\end{cases}}}}\)\(< =>\hept{\begin{cases}x\in\left\{-1;1\right\}\\y\in\left\{-1;1\right\}\end{cases}}\)

Vậy có 4 cặp (x;y) cần tìm là (1;1) ;(1;-1);(-1;1);(-1;-1)

cảm ơn bạn Hoàng Phúc

ĐK: x;y khác 0

\(x^2+y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=4\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+\left(y^2+\frac{1}{y^2}\right)=4\)

\(\Leftrightarrow\left(x-\frac{1}{x}\right)^2+2+\left(y-\frac{1}{y}\right)^2+2=4\)

\(\Leftrightarrow\left(x-\frac{1}{x}\right)^2+\left(y-\frac{1}{y}\right)^2=0\)

\(\Rightarrow x=\frac{1}{x};y=\frac{1}{y}\)

\(\Rightarrow x^2=1;y^2=1\)

\(\Rightarrow x=\orbr{\begin{cases}1\\-1\end{cases}};y=\orbr{\begin{cases}1\\-1\end{cases}}\)

Có j ko hỉu cứ liên hệ