Ta thấy \(y^2+2xy+x^2-x^2-7x+12=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2=x^2+7x+12\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2=\left(x+3\right)\left(x+4\right)\)(1)

Vì\(x,y\varepsilonℤ\)nên\(\left(x+y\right)^2\)là số chính phương và \(\left(x+3\right)\left(x+4\right)\)là tích 2 số nguyên liên tiếp (2)

Từ (1) và (2) ta được

\(\hept{\begin{cases}\left(x+y\right)^2=0\\\left(x+3\right)\left(x+4\right)=0\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=0\\\orbr{\begin{cases}x+3=0\\x+4=0\end{cases}}\end{cases}}\)

Giải ra tìm được x,y

\(\hept{\begin{cases}\left(x+y\right)^2=0\\\orbr{\begin{cases}x+3=0\\x+4=0\end{cases}}\end{cases}}\)

x² + 2xy + 2y² - 5x - 5y = -6

<=> x² + 2xy + y² - 5(x + y) + y² = -6

<=> (x + y)² - 5(x + y) = - 6 - y²

<=> (x + y)² - 5(x + y) + 25/4 = 25/4 - 6 - y²

<=> (x + y - 5/2)² = (1 - 4y²)/4

<=> (2x + 2y - 5)² = 1 - 4y²

<=> (2x + 2y - 5)² + 4y² = 1 (*)

Từ (*) ta thấy nếu x, y là các số thực thì có vô số cặp (x, y) thỏa.

có thể đề ghi thiếu, ở đây tôi tìm các cặp (x, y) nguyên

*nếu y ≠ 0 thì 4y² ≥ 4, không thỏa (*)

*Vậy y = 0, thay vào (*):

(2x - 5)² = 1

+2x - 5 = -1 => x = 2

+2x - 5 = 1 => x = 3

Vậy có hai cặp nguyên (x, y) thỏa là: (2, 0) và (3, 0)

\(\Leftrightarrow3x^2+x\left(2y^2-y-3\right)-\left(2y^2-y-3\right)=0\)

đặt \(\left(2y^2-y-3\right)=m\)với m là số tự nhiên nên phương trình trở thành

\(\Leftrightarrow3x^2+mx-m=0\)

có \(\Delta=m^2+12m=\left(m+6\right)^2-36=k^2\)vì x,y nguyên nên \(\Delta\)là số chính phương

\(\Leftrightarrow\left(m+6-k\right)\left(m+6+k\right)=36\)

m+6-k và m+6+k là ước của 36 ta xét các trường hợp có thể sảy ra (36,6);(18,2);(12,3);(9,4);(6,6).

1. \(\hept{\begin{cases}m+6+k=36\\m+6-k=1\end{cases}}\Leftrightarrow2m=25\)không thỏa mãn
2. \(\hept{\begin{cases}m+6+k=18\\m+6-k=2\end{cases}}\Leftrightarrow2m=8\Leftrightarrow m=4\)\(\Rightarrow\Delta=64;2y^2-y-3=4\Leftrightarrow2y^2-y-7=0\)\(\Leftrightarrow\Delta_1=1^2+2.4.7=57\) loại
3. \(\hept{\begin{cases}m+6+k=12\\m+6-k=3\end{cases}}\Leftrightarrow2m=3\)loại
4. \(\hept{\begin{cases}m+6+k=9\\m+6-k=4\end{cases}}\Leftrightarrow2m=1\)loại

5.\(\hept{\begin{cases}m+6+k=6\\m+6-k=6\end{cases}}\Leftrightarrow2m=0\Leftrightarrow m=0\)

\(2y^2-y-3=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=-1\\y=\frac{3}{2}\end{cases}}\)\(\Rightarrow y=-1\)

thay m=0 có \(\Delta=0\)phương trình ban đầu trở thành

\(3x^2=0\Leftrightarrow x=0\)

vậy cặp (x,y) nguyên là (0,-1)

\(x^2+2xy+7.\left(x+y\right)+2y^2+10=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y^2\right)+7.\left(x+y\right)+\dfrac{49}{4}+y^2-\dfrac{9}{4}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+\dfrac{7}{2}^2\right)=\dfrac{9}{4}-y^2\)

\(Do\left(x+y+\dfrac{7}{2}^2\right)\ge0\Rightarrow\dfrac{9}{4}-y^2\ge0\Rightarrow y^2\le\dfrac{9}{4}\)

Mà y nguyên \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y^2\\\\y^2=1\end{matrix}\right.=0\)

Thay vào phương trình đầu: 

Với \(y=0\Rightarrow x^2+7x+10=0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-2\\\\\\x=-5\end{matrix}\right.\)

Với \(y=1\Rightarrow x^2+9x+19=0\Rightarrow\) không có x nguyên

Với \(y=-1\Rightarrow x^2+5x+5=0\Rightarrow\) không có x nguyên