Bài giải:

Gọi x (cm), y (cm) là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông. Điều kiện x > 0, y > 0.

Tăng mỗi cạnh lên 3 cm thì diện tích tăng them 36 cm² nên ta được:

= + 36

Một cạnh giảm 2 cm, cạnh kia giảm 4 cm thì diện tích của tam giác giảm 36 cm² nên ta được

= - 26

Ta có hệ phương trình

Giải ra ta được nghiệm x = 9; y = 12.

Vậy độ dài hai cạnh góc vuông là 9 cm, 12 cm.

Gọi cạnh góc vuông lớn và cạnh góc vuông nhỏ lần lượt là a(cm) và b(cm)(Điều kiện: a>0; b>0; a>b)

Diện tích tam giác vuông là: 

\(\dfrac{1}{2}ab\left(cm^2\right)\)

Vì khi tăng cạnh lớn lên 5cm và tăng cạnh nhỏ thêm 3cm thì diện tích tăng thêm 80cm² nên ta có phương trình:

\(\dfrac{1}{2}\left(a+5\right)\left(b+3\right)=\dfrac{1}{2}ab+80\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}\left(ab+3a+5b+15\right)=\dfrac{1}{2}ab+80\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}ab+\dfrac{3}{2}a+\dfrac{5}{2}b+\dfrac{15}{2}=\dfrac{1}{2}ab+80\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{3}{2}a+\dfrac{5}{2}b=\dfrac{145}{2}\)

\(\Leftrightarrow3a+5b=145\)(1)

Vì khi giảm mỗi cạnh đi 2cm thì diện tích giảm 35cm² nên ta có phương trình:

\(\dfrac{1}{2}\left(a-2\right)\left(b-2\right)=\dfrac{1}{2}ab-35\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}\left(ab-2a-2b+4\right)=\dfrac{1}{2}ab-35\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}ab-a-b+2=\dfrac{1}{2}ab-35\)

\(\Leftrightarrow-a-b=-37\)

hay a+b=37(2)

Từ (1) và (2) ta lập được hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}3a+5b=145\\a+b=37\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3a+5b=145\\3a+3b=111\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2b=34\\a+b=37\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=17\\a=37-b=37-17=20\end{matrix}\right.\)(thỏa ĐK)

Vậy: Độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt là 17cm và 20cm

Lời giải:

Gọi độ dài cạnh góc vuông ban đầu là $a,b$ (cm) 

Theo bài ra ta có:
$(a+2)(b+3)=ab+50$

$\Leftrightarrow 3a+2b=44(1)$

Và:

$(a-2)(b-2)=ab-32$

$\Leftrightarrow -2a-2b+4=-32$

$\Leftrightarrow a+b=18(2)$

Từ $(1); (2)\Rightarrow a=8; b=10$ (cm)

 Bài 31 : Tính độ dài hai cạnh góc vuông của 1 tam giác vuông, biết rằng nêu tang mỗi cạnh lên 3 cm thì diện tích tam giác đó sẽ tăng thêm 36 cm vuông , và nếu 1 cạnh giảm đi 2 cm , cạnh kia giảm đi 4 Cm thì diện tích của tam giác giảm đi 26 cm vuông . 

- Gọi độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt là x và y [ đơn vị; cm , 4 (nhỏ hơn) x ≤ y ] - phím shifft nhà mình bị hư, bạn thông cảm, hì. 
- Diện tích tam giác đó là; (xy)/2 
- Theo đề bài ta có; 
* nêu tang mỗi cạnh lên 3 cm thì diện tích tam giác đó sẽ tăng thêm 36 cm vuông; 
[ (x+3)(y+3) ]/2 = (xy)/2 + 36 
tương đương với; x + y = 21 

* nếu 1 cạnh giảm đi 2 cm , cạnh kia giảm đi 4 Cm thì diện tích của tam giác giảm đi 26 cm vuông . 
[ (x-2)(y-4) ]/2 = (xy)/2 - 26 
tương đương với; 2x + y = 30 

Giải hệ phương trình; 
x + y = 21 
2x + y = 30 
ta được; x = 9, y = 12 

Vậy; Độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác lần lượt là 9cm và 12cm. 

Bài 38 : Nếu 2 vòi nước cùng chảy vào 1 bể nước cạn ( ko có nước) thì bể sẽ đầy trong 1h 20 phút. Nếu mở vòi thứ nhất trong 10 phút và vòi thứ 2 trong 12 phút thì chỉ được 2/15 bể. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì thời gian để mỗi vòi chảy đây bể là bao nhiêu ? 

- Gọi thời gian để vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là x [ giờ, x (lớn hơn) 0 ] 
- Gọi thời gian để voi thứ hai chảy một mình đầy bể là y [ giờ, y (lớn hơn) 0 ] 
- Lượng nước chảy vào bể trong một giờ của hai vòi lần lượt là 1/x và 1/y [ phần bể ] 
Theo đề bài, ta có; 
* Nếu 2 vòi nước cùng chảy vào 1 bể nước cạn ( ko có nước) thì bể sẽ đầy trong 1h 20 phút = 4/3 giờ 
(1/x) + (1/y) = 1/(4/3 = 3/4 [1] 

* Nếu mở vòi thứ nhất trong 10 phút ( 1/6 giờ ).và vòi thứ 2 trong 12 phút ( 1/5 giờ ) thì chỉ được 2/15 bể. 

(1/x)(1/6) + (1/y)(1/5) = 2/15 [2] 

Giải hệ phương trình [1] và [2] bằng phương pháp đặt ẩn phụ, ta được; 
x = 2 ; y = 4