2;3;5

Giả sử bốn số nguyên tố đó là \(p_1,p_2,p_3,p_4\).

Khi đó các số đã cho đều viết được dưới dạng \(p_1^{a_1}p_2^{a_2}p_3^{a_3}p_4^{a_4}\) với \(a_1,a_2,a_3,a_4\) là các số tự nhiên.

Theo nguyên lí Dirichlet, tồn tại 9 số có hệ số \(a_1\) cùng tính chẵn, lẻ.

Trong 9 số này, tồn tại 5 số có hệ số \(a_2\) cùng tính chẵn, lẻ.

Trong 5 số này, tồn tại 3 số có hệ số \(a_3\) cùng tính chẵn, lẻ.

Trong 3 số này, tồn tại 2 số có hệ số \(a_4\) cùng tính chẵn, lẻ. Tích hai số này là số chính phương.

120=2³.3.5 -> có: (3+1).(1+1).(1+1)=16 ước

108=2².3³ -> có: (2+1).(3+1)=12 ước

325=5².13 -> có: (2+1).(1+1)=6 ước

729=3⁶ -> có: 6+1= 7 ước

1036=2².7.37 -> có: (2+1).(1+1).(1+1)=12 ước

435=3.5.29 -> có: (1+1).(1+1).(1+1)=8 ước

702=2.3³.13 -> có: (1+1).(3+1).(1+1)=16 ước

138=2.3.23 -> có: (1+1).(1+1).(1+1)=8 ước

234=2.3².13 -> có: (1+1).(2+1).(1+1)=12 ước

76=2².19 -> có: (2+1).(1+1)=6 ước

1270=2.5.127 -> có: (1+1).(1+1).(1+1)=8 ước

4254=2.3.709 -> có: (1+1).(1+1).(1+1)=8 ước

Số p⁴ có 5 ước số tự nhiên là 1 , p, p² , p³ , p⁴
Ta có : 1 + p + p² + p³ + p⁴ = n²     (n \(\in\) N)
Suy ra : 4n² = 4p⁴ + 4p³ + 4p² + 4p + 4 > 4p⁴ + 4p³ + p² = (2p² + p)²
Và  4n² < 4p⁴ + p² + 4 + 4p³ + 8p² + 4p = (2p² + p + 2)².
Vậy : (2p² + p)² < (2n)²  < (2p² + p + 2)².
Suy ra :(2n)² = (2p² + p + 2)² = 4p⁴ + 4p³ +5p² + 2p + 1

vậy 4p⁴  + 4p³ +5p² + 2p + 1 = 4p⁴ + 4p³ +4p² +4p + 4   (vì cùng bằng 4n² )

=> p² - 2p - 3 = 0  => (p + 1) (p - 3) = 0

do p > 1  => p - 3 = 0   => p = 3

\(\sqrt{3^4}=9\) nên p = 3

p³=400 chia hết cho 8=>p chia hết cho 2

vì p là số nguyên tố=>p=2=>p³=8                  (trái giả thuyết)

=>không có p

vậy không có p

Vì p là số nguyên tố.

=>Ư(p)=(1,p)

=>Ư(p³)=(1,p,p²,p³)

=>1+p+p²+p³=40

=>p.(1+p+p²)=39

=>p=Ư(39)=(1,3,13,39)

Vì p là số nguyên tố.

=>p=3,13

Xét p=13=>1+p+p²=39:13=3

Vì 1+p+p²>p=>vô lí.

Xét p=3=>1+p+p²=39:3=13=1+3+3²=13(thoả mãn)

Vậy p=3

{3; 31}    {5; 29}    {11 : 23}    {17; 17}                                                                                                                                                                   Như vậy là có 4 tập hợp thoả mãn điều kiện