Cho tam giác ABC, trên tia đối AC, BA,CB lấy ba điểm A₁, B₁, C₁ sao cho AA₁ = BC, BB₁ = AC, CC₁ = AB. Chứng minh rằng:

\(S_{ABC_1}+S_{ACB_1}+S_{BCA_1}\ge6S_{ABC}\)

Trên các cạnh AB,BC và AC của tam giác ABc lấy cá điểm C₁,A₁,B₁, sao cho AC₁=1/2 AB,BA₁=1/3 BC, CB₁=1/4 AC. Các đường thẳng AA₁,BB₁,CC₁ đôi một cắt nhau tại M,N,P. Biết S_ABC=S₀. Tính S_MND theo S₀.

Cho tam giác ABC đều, trên các cạnh AB,BC,AC lần lượt lấy các điểm E và D sao cho \(\frac{BE}{AE}=\frac{1}{2};\frac{AD}{CD}=\frac{1}{2}\). Các đoạn thẳng BD và CE cắt nhau tại M, đường trung trực của CM cắt BC ở K. Gọi N là điểm đối xứng của C qua K. CM: A,M,N thẳng hàng

Cho điểm O ở miền trong tam giác ABC. Các đường thẳng AO, BO, CO cắt các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại A', B', C'. 

Tính x= \(\frac{AO}{AA'}+\frac{BO}{BB'}+\frac{CO}{CC'}\)

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB= 3cm, BC =5cm. Kẻ BD là tia phân giác của góc B, trên cạnh AB lấy điểm E sao cho \(AE=\frac{3}{4}AB\), DE cắt BC tại F. Tính tỉ số \(\frac{S_{BÈF}}{S_{BEDC}}\)

Cho tam giác ABC và điểm M nằm trong tam giác. Qua M kẻ đường thẳng DE, IJ, FG tương ứng song song với các cạnh BC, CA, AB (G, I thuộc BC; E, F thuộc CA; D, I thuộc AB). Chứng minh: \(S_{AIMF}+S_{BGMD}+S_{CEMJ}\le\dfrac{2}{3}S_{ABC}\)

Cho điểm O ở miền trong tam giác ABC. Các đường thẳng AO, BO, CO cắt các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại A', B', C'. 

Tính x= \(\frac{AO}{AA'}+\frac{BO}{BB'}+\frac{CO}{CC'}\)

Cho điểm O ở miền trong tam giác ABC. Các đường thẳng AO, BO, CO cắt các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại A', B', C'. 

Tính x= \(\frac{AO}{AA'}+\frac{BO}{BB'}+\frac{CO}{CC'}\)