Tham khảo:

a) 

Lấy điểm B(0;2) và P(0;5).

Ta có: OB=2, AB =1, MP=6 và PN=3.

Xét hai tam giác vuông OBA và MPN ta có: \(\frac{{OB}}{{MP}} = \frac{{AB}}{{PN}} = \frac{1}{3}\)

Do đó hai tam giác đồng dạng và OA // MN.

Suy ra \(\overrightarrow {OA} ,\;\overrightarrow {MN} \) cùng phương.

Hơn nữa, \(\overrightarrow {OA} ,\;\overrightarrow {MN} \) cùng hướng và MN = 3 OA.

b) Mỗi giờ, vật thể đó đi được quãng đường tương ứng với đoạn thẳng OA.

Vì \({MN}  = 3. {OA} \) nên vật thể đó sẽ đi qua N sau 3 giờ kể từ lúc khởi hành.

Tham khảo:

Gọi M, N lần lượt là điểm đầu và điểm cuối của vecto \(\overrightarrow a \).

Từ B, M, N ta dựng hình bình hành BMNC.

Khi đó: \(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {BC} \) hay \(\overrightarrow a  = \overrightarrow {BC} \).

\( \Rightarrow \overrightarrow a  + \overrightarrow a  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC} \)

a) Vì  \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow a  = \overrightarrow {BC} \) nên A, B, C thẳng hàng và B là trung điểm của AC.

Vậy \(\overrightarrow a  + \overrightarrow a \) và \(\overrightarrow {AB} \) cùng hướng, \(\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow a } \right| = 2.\left| {\overrightarrow {AB} } \right|\)

b) Ta có:  \(\overrightarrow a  + \overrightarrow a \) và \(\overrightarrow {AB} \) cùng hướng, \(\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow a } \right| = 2.\left| {\overrightarrow {AB} } \right|\)

Mà \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow a \) nên:  \(\overrightarrow a  + \overrightarrow a \) và \(\overrightarrow a \) cùng hướng, \(\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow a } \right| = 2.\left| {\overrightarrow a } \right|\).

Tham khảo:

Kí hiệu O, E, F là các điểm như trên hình vẽ.

Dễ thấy: tứ giác OEMF là hình bình hành nên \(\overrightarrow {OE}  + \overrightarrow {OF}  = \overrightarrow {OM} \) hay \(\overrightarrow v  + \overrightarrow u  = \overrightarrow {OM} \)

Và \(\overrightarrow {OC}  = 3.\overrightarrow {OM}  \Rightarrow 3\left( {\overrightarrow v  + \overrightarrow u } \right) = 3.\overrightarrow {OM}  = \overrightarrow {OC} \)

Mặt khác: \(\overrightarrow {OA}  = 3.\overrightarrow {OF}  = 3\;\overrightarrow u ;\;\overrightarrow {OB}  = 3.\overrightarrow {OE}  = 3\;\overrightarrow v \)

Và \(\overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OA}  = \overrightarrow {OC} \) hay \(3\;\overrightarrow v  + 3\;\overrightarrow u  = \overrightarrow {OC} \)

\( \Rightarrow 3\left( {\overrightarrow v  + \overrightarrow u } \right) = 3\;\overrightarrow v  + 3\;\overrightarrow u \)

a) Góc \(\varphi \) và góc \(\left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)\) có thể bằng nhau hoặc bù nhau.

b) Do góc \(\varphi \) và góc \(\left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)\) có thể bằng nhau hoặc bù nhau nên  \(\cos \varphi  = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right|\) 

Dễ thấy:

vectơ \(\overrightarrow {OM} \) cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow i \) và \(\left| {\overrightarrow {OM} } \right| = 4 = 4\left| {\overrightarrow i } \right|\)

Do đó: \(\overrightarrow {OM}  = 4\,.\,\overrightarrow i \)

Tương tự, vectơ \(\overrightarrow {ON} \) ngược hướng với vectơ \(\overrightarrow i \) và \(\left| {\overrightarrow {ON} } \right| = \frac{3}{2} = \frac{3}{2}\left| {\overrightarrow i } \right|\)

Do đó: \(\overrightarrow {ON}  =  - \frac{3}{2}\,.\,\overrightarrow i \)

a) Ta có:

\(\overrightarrow {DM}  = \overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {AM}  =  - \overrightarrow {AD}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \) (do M là trung điểm của AB)

\(\overrightarrow {AN}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BN}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \) (do N là trung điểm của BC)

b)

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {DM} .\overrightarrow {AN}  = \left( { - \overrightarrow {AD}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} } \right).\left( {\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} } \right)\\ =  - \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB}  - \frac{1}{2}{\overrightarrow {AD} ^2} + \frac{1}{2}{\overrightarrow {AB} ^2} + \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} \end{array}\)

Mà \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB}  = 0\) (do \(AB \bot AD\)), \({\overrightarrow {AB} ^2} = A{B^2} = {a^2};{\overrightarrow {AD} ^2} = A{D^2} = {a^2}\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {DM} .\overrightarrow {AN}  =  - 0 - \frac{1}{2}{a^2} + \frac{1}{2}{a^2} + \frac{1}{4}.0 = 0\)

Vậy \(DM \bot AN\) hay góc giữa hai đường thẳng DM và AN bằng \({90^ \circ }\).

Dễ thấy:

\(AD = BC\) nhưng \(AD\) và \(BC\) không song song với nhau. Do đó hai vectơ \(\overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {BC} \) không bằng nhau.

\(CD > AB\) do đó hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \) không bằng nhau.

\(AC\) và \(BD\) không song song với nhau. Do đó hai vectơ \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {BD} \) không bằng nhau.

Bước 1: Dựng hình bình hành có cạnh song song với giá của vecto \(\overrightarrow a ,\;\overrightarrow b \) và đường chéo là vecto \(\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v \).

Ta dựng được hình hình hành ABCD và DEGH. Trong đó:  DC và DE nằm trên giá của vecto \(\overrightarrow a \), DA và DH nằm trên giá của vecto \(\overrightarrow b \), còn vecto \(\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v \) lần lượt là hai dường chéo.

Dễ thấy: \(\overrightarrow u  = \overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {DC} ,\;\overrightarrow v  = \overrightarrow {DH}  + \overrightarrow {DE} \)

Mà \(\overrightarrow {DA}  = 3\overrightarrow b ,\;\overrightarrow {DC}  = \overrightarrow a \;,\;\overrightarrow {DH}  = 3\overrightarrow b ,\;\overrightarrow {DE}  =  - 2\overrightarrow a .\)

\( \Rightarrow \overrightarrow u  = 2\overrightarrow b  + \overrightarrow a ,\;\,\overrightarrow v  = 3\overrightarrow b  - 2\overrightarrow a \)