Câu 1:

Gọi \(A\left(1;-1\right)\) và \(B\left(2;3\right)\Rightarrow\) tập hợp \(z\) thoả mãn điều kiện đề bài là đường trung trực d của đoạn AB, ta dễ dàng viết được phương trình d có dạng \(4x-y-5=0\)

Gọi \(M\left(-2;-1\right)\) và \(N\left(3;-2\right)\) và \(I\left(a;b\right)\) là điểm bất kì biểu diễn \(z\Rightarrow I\in d\) \(\Rightarrow P=IM+IN\). Bài toán trở thành dạng cực trị hình học phẳng quen thuộc: cho đường thẳng d và 2 điểm M, N cố định, tìm I thuộc d để \(P=IM+IN\) đạt GTNN

Thay toạ độ M, N vào pt d ta được 2 giá trị trái dấu \(\Rightarrow M;N\) nằm về 2 phía so với d

Gọi \(C\) là điểm đối xứng M qua d \(\Rightarrow IM+IN=IC+IN\), mà \(IC+IN\ge CN\Rightarrow P_{min}=CN\) khi I, C, N thẳng hàng

Phương trình đường thẳng d' qua M và vuông góc d có dạng:

\(1\left(x+2\right)+4\left(y+1\right)=0\Leftrightarrow x+4y+6=0\)

Gọi D là giao điểm d và d' \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+4y+6=0\\4x-y-5=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow D\left(\frac{14}{17};-\frac{29}{17}\right)\)

\(\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{DC}\Rightarrow C\left(-2;-1\right)\Rightarrow P_{min}=CN=\sqrt{\left(3+2\right)^2+\left(-2+1\right)^2}=\sqrt{26}\)

Bài 2:

Tập hợp \(z\) là các điểm M thuộc đường tròn (C) tâm \(I\left(0;1\right)\) bán kính \(R=\sqrt{2}\) có phương trình \(x^2+\left(y-1\right)^2=2\)

\(\Rightarrow\left|z\right|=OM\Rightarrow\left|z\right|_{max}\) khi và chỉ khi \(M;I;O\) thẳng hàng và M, O nằm về hai phía so với I

\(\Rightarrow M\) là giao điểm của (C) với Oy \(\Rightarrow M\left(0;1+\sqrt{2}\right)\Rightarrow\) phần ảo của z là \(b=1+\sqrt{2}\)

Câu 3:

\(\overline{z}=\left(i+\sqrt{2}\right)^2\left(1-\sqrt{2}i\right)=5+\sqrt{2}i\)

\(\Rightarrow z=5-\sqrt{2}i\Rightarrow b=-\sqrt{2}\)

Câu 4

\(z.z'=\left(m+3i\right)\left(2-\left(m+1\right)i\right)=2m-\left(m^2+m\right)i+6i+3m+3\)

\(=5m+3-\left(m^2+m-6\right)i\)

Để \(z.z'\) là số thực \(\Leftrightarrow m^2+m-6=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\\m=-3\end{matrix}\right.\)

Câu 5:

\(A\left(-4;0\right);B\left(0;4\right);M\left(x;3\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}=\left(4;4\right)\\\overrightarrow{AM}=\left(x+4;3\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow A,B,M\) khi và chỉ khi \(\frac{x+4}{4}=\frac{3}{4}\Rightarrow x=-1\)

Câu 6:

\(z=3z_1-2z_2=3\left(1+2i\right)-2\left(2-3i\right)=-1+12i\)

\(\Rightarrow b=12\)

Câu 7:

\(w=\left(1-i\right)^2z\)

Lấy môđun 2 vế:

\(\left|w\right|=\left|\left(1-i\right)^2\right|.\left|z\right|=2m\)

Câu 8:

\(3=\left|z-1+3i\right|=\left|z-1-i+4i\right|\ge\left|\left|z-1-i\right|-\left|4i\right|\right|=\left|\left|z-1-i\right|-4\right|\)

\(\Rightarrow\left|z-1-i\right|\ge-3+4=1\)

Phương trình: \(z^2+4z+5=0\)

có 2 nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}z_1=-2+i\\z_2=-2-i\end{matrix}\right.\)

+) \(\left(1+z_1\right)^{100}=\left(\left(-1+i\right)^2\right)^{50}\\ =\left(-2i\right)^{50}=\left(\left(-2i\right)^2\right)^{25}=\left(-4\right)^{25}=-2^{50}\)

+) \(\left(1+z_2\right)^{100}=\left(\left(-1-i\right)^2\right)^{50}\\ =\left(2i\right)^{50}=\left(\left(2i\right)^2\right)^{25}=\left(-4\right)^{25}=-2^{50}\)

Vậy: \(w=-2^{50}-2^{50}=-2^{51}\)

Hình như đáp án bạn viết sai :)))))))))

\(\Leftrightarrow\left(1-2i\right)z-\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2}i\right)=\left(3-i\right)z\)

\(\Leftrightarrow\left(1-2i\right)z-\left(3-i\right)z=\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2}i\)

\(\Leftrightarrow\left(-2-i\right)z=\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2}i\)

\(\Rightarrow z=\dfrac{1-3i}{2\left(-2-i\right)}=\dfrac{1}{10}+\dfrac{7}{10}i\)

\(\Rightarrow A\left(\dfrac{1}{10};\dfrac{7}{10}\right)\) \(\Rightarrow\) tọa độ trung điểm I là \(\left(\dfrac{1}{20};\dfrac{7}{20}\right)\)

a/\(\left(1+i\right)z=\frac{1}{z}\Leftrightarrow z^2\left(1+i\right)=1\Rightarrow z^2=\frac{1}{1+i}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i\)

\(\Rightarrow\) Phần ảo là \(-\frac{1}{2}\)

b/\(\frac{1}{z}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\Rightarrow z=\frac{2}{1+i}\Rightarrow z=1-i\)

Phần ảo là -1

c/ Áp dụng công thức tổng CSN với \(u_1=i\) ; \(q=i\); \(n=100\)

\(i+i^2+...+i^{100}=i.\frac{i^{101}-1}{i-1}=\frac{i^{102}-i}{i-1}=\frac{\left(i^2\right)^{51}-i}{i-1}=\frac{-1-i}{i-1}=i\)

d/ Tương tự câu trên:

\(1+\left(1+i\right)+...+\left(1+i\right)^{20}=1+\left(1+i\right).\frac{\left(1+i\right)^{21}-1}{1+i-1}=-2048+i\)

Theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}z_1+z_2=2i\\z_1z_2=-1-2i\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow z_1^3+z_2^3=\left(z_1+z_2\right)\left(z_1^2+z_2^2-z_1z_2\right)=\left(z_1+z_2\right)\left(\left(z_1+z_2\right)^2-3z_1z_1\right)\)

\(=2i\left[\left(2i\right)^2-3\left(-1-2i\right)\right]=2i\left(6i-1\right)=-12-2i\)

7.

\(\left(1+i\right)z=3z-i\Leftrightarrow\left(1+i-3\right)z=-i\)

\(\Leftrightarrow\left(i-2\right)z=-i\Rightarrow z=\frac{-i}{i-2}=-\frac{1}{5}+\frac{2}{5}i\)

Phần ảo là \(\frac{2}{5}\)

8.

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x-1=2-x\\1-2y=3y+2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=-\frac{1}{5}\end{matrix}\right.\)

9.

\(\left|x-yi+2-i\right|=4\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2\right)^2+\left(y+1\right)^2=16\)

Đường tròn tâm \(I\left(-2;-1\right)\) bán kính \(R=4\)

10.

Mặt cầu tâm \(I\left(1;2;2\right)\)

Khoảng cách: \(d\left(I;\alpha\right)=\frac{\left|1+2.2-2.2-4\right|}{\sqrt{1^2+2^2+\left(-2\right)^2}}=1\)

4.

Giao điểm d và (P) thỏa mãn:

\(1-t+2.2t-2\left(1+t\right)+2=0\Rightarrow t=-1\)

Thay vào pt d ta được tọa độ: \(\left(2;-2;0\right)\)

5.

Theo quy tắc nhân ta có \(3.4=12\) cách

6.

\(z=x+yi\Rightarrow5\left(x-yi\right)-\left(x+yi\right)\left(2-i\right)=2-6i\)

\(\Leftrightarrow3x-y-\left(7y-x\right)i=2-6i\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x-y=2\\-x+7y=6\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow z=1+i\Rightarrow\left|z\right|=2\)

1/Áp dụng công thức tổng cấp số nhân:

\(z=1+\left(1+i\right)+\left(1+i\right)^2+...+\left(1+i\right)^{20}=1+\frac{\left(1+i\right)^{21}-1}{i+1-1}=1+\frac{\left(1+i\right)^{21}-1}{i}\)

Ta có:

\(\left(1+i\right)^{21}=\left(1+i\right)\left[\left(1+i\right)^2\right]^{10}=\left(1+i\right)\left(1+2i+i^2\right)^{10}\)

\(=\left(1+i\right)\left(2i\right)^{10}=\left(1+i\right).2^{10}.i^{10}=\left(1+i\right)2^{10}\left(i^2\right)^5=-\left(1+i\right).2^{10}\)

\(\Rightarrow z=1+\frac{-\left(1+i\right)2^{10}-1}{i}=1+\frac{-i\left(1+i\right)2^{10}-i}{i^2}=1+\left(i+i^2\right)2^{10}+i=1+i+\left(i-1\right).2^{10}\)

\(\Rightarrow z=\left(1-2^{10}\right)+\left(1+2^{10}\right)i\)

2/

\(z=\left(3+i\sqrt{3}\right)^3\Rightarrow\frac{1}{z}=\frac{1}{\left(3+i\sqrt{3}\right)^3}=\frac{\left(3-i\sqrt{3}\right)^3}{\left(3+i\sqrt{3}\right)^3\left(3-i\sqrt{3}\right)^3}=\frac{\left(3-i\sqrt{3}\right)^3}{\left(9-3i^2\right)^3}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{z}=\frac{\left(3-i\sqrt{3}\right)^3}{12^3}=\left(\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{3}}{12}i\right)^3\)

3/ Bạn viết lại đề được không?

Cảm ơn nhiều ạ! Mình làm được rồi ạ!

14.

Pt mp (P) qua A và vuông góc d:

\(1\left(x-2\right)-2\left(y-3\right)+2\left(z+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x-2y+2z+6=0\)

Pt d dạng tham số: \(\left\{{}\begin{matrix}x=4+t\\y=1-2t\\z=5+2t\end{matrix}\right.\)

Gọi M là giao điểm d và (P) thì tọa độ M thỏa mãn:

\(4+t-2\left(1-2t\right)+2\left(5+2t\right)+6=0\) \(\Rightarrow t=-2\) \(\Rightarrow M\left(2;5;1\right)\)

A' đối xứng A qua d \(\Rightarrow\)M là trung điểm AA'

Theo công thức trung điểm \(\Rightarrow A'\left(2;7;3\right)\)

15.

Pt d dạng tham số: \(\left\{{}\begin{matrix}x=-2+3t\\y=-2+2t\\z=-t\end{matrix}\right.\)

PT (P) qua A và vuông góc d:

\(3\left(x-4\right)+2\left(y+3\right)-1\left(z-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow3x+2y-z-4=0\)

H là giao điểm d và (P) nên tọa độ thỏa mãn:

\(3\left(-2+3t\right)+2\left(-2+2t\right)+t-4=0\Rightarrow t=1\)

\(\Rightarrow H\left(1;0;-1\right)\)

11.

Thay tọa độ 4 điểm vào pt d chỉ có đáp án A thỏa mãn

12.

Phương trình (P) qua A và vuông góc \(\Delta\):

\(1\left(x-0\right)+1\left(y-1\right)-1\left(z+1\right)=0\Leftrightarrow x+y-z-2=0\)

Gọi M là giao điểm d và (P) thì tọa độ M thỏa mãn:

\(1+t+2+t-\left(13-t\right)-2=0\Rightarrow t=4\) \(\Rightarrow M\left(5;6;9\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{AM}=\left(5;5;10\right)=5\left(1;1;2\right)\)

Phương trình tham số d: \(\left\{{}\begin{matrix}x=t\\y=1+t\\z=-1+2t\end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}x=5+t\\y=6+t\\z=9+2t\end{matrix}\right.\)

13.

Pt tham số đường d qua A vuông góc (P): \(\left\{{}\begin{matrix}x=-t\\y=1-2t\\z=-2+2t\end{matrix}\right.\)

H là giao điểm (P) và d nên tọa độ thỏa mãn:

\(t-2\left(1-2t\right)+2\left(-2+2t\right)-3=0\Rightarrow t=1\)

\(\Rightarrow H\left(-1;-1;0\right)\)

3.

\(x.f'\left(x\right)+\left(x+1\right)f\left(x\right)=3x^2.e^{-x}\)

\(\Leftrightarrow x.e^x.f'\left(x\right)+\left(x+1\right).e^x.f\left(x\right)=3x^2\)

\(\Leftrightarrow\left[x.e^x.f\left(x\right)\right]'=3x^2\)

Lấy nguyên hàm 2 vế:

\(\Rightarrow x.e^x.f\left(x\right)=\int3x^2dx=x^3+C\)

\(f\left(1\right)=\frac{1}{e}\Rightarrow1.e.\frac{1}{e}=1^3+C\Rightarrow C=0\)

\(\Rightarrow x.e^x.f\left(x\right)=x^3\Rightarrow f\left(x\right)=\frac{x^2}{e^x}\)

\(\Rightarrow f\left(2\right)=\frac{4}{e^2}\)

4.

Gọi (Q) là mặt phẳng chứa d và vuông góc (P)

(Q) nhận \(\overrightarrow{n_{\left(Q\right)}}=\left[\overrightarrow{n_{\left(P\right)}};\overrightarrow{u_d}\right]=\left(-3;2;1\right)\) là 1 vtpt

Phương trình (Q):

\(-3x+2\left(y+1\right)+1\left(z-2\right)=0\Leftrightarrow-3x+2y+z=0\)

d' là hình chiếu của d lên (P) nên là giao tuyến của (P) và (Q) có pt thỏa mãn:

\(\left\{{}\begin{matrix}x+y+z+3=0\\-3x+2y+z=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow d'\) đi qua \(A\left(0;3;-6\right)\) và nhận \(\overrightarrow{u_{d'}}=\left[\overrightarrow{n_{\left(Q\right)}};\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}\right]=\left(1;4;-5\right)\) là 1 vtcp

Phương trình chính tắc d': \(\frac{x}{1}=\frac{y-3}{4}=\frac{z+6}{-5}\)

1/

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=lnx\\dv=\left(2x+1\right)dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\frac{dx}{x}\\v=x^2+x\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I=\left(x^2+x\right)lnx|^3_e-\int\limits^3_e\left(x+1\right)dx=\left(x^2+x\right)lnx|^3_e-\left(\frac{1}{2}x^2+x\right)|^3_e\)

\(=12ln3-\frac{e^2}{2}-\frac{15}{2}\)

2/

Đặt \(z=x+yi\)

\(\left|x+1+\left(y-1\right)i\right|=\left|x+\left(y-3\right)i\right|\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2+\left(y-1\right)^2=x^2+\left(y-3\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2x+4y-7=0\Rightarrow x=\frac{7}{2}-2y\)

Ta có: \(A=\left|z-i\right|=\left|x+\left(y-1\right)i\right|=\sqrt{x^2+\left(y-1\right)^2}\)

\(=\sqrt{\left(\frac{7}{2}-2y\right)^2+\left(y-1\right)^2}=\sqrt{5y^2-16y+\frac{53}{4}}=\sqrt{5\left(y-\frac{8}{5}\right)^2+\frac{9}{20}}\ge\sqrt{\frac{9}{20}}\)

\(\Rightarrow\left|z-i\right|_{min}=\sqrt{\frac{9}{20}}\)

\(z=x+yi\Rightarrow\left(x+1\right)^2+\left(y+1\right)^2=x^2+y^2\)

\(\Rightarrow x+y+1=0\Rightarrow\) tập hợp z là đường thẳng d: \(x+y+1=0\)

\(P=\left|\left(z-4-5i\right)-\left(w-3-4i\right)\right|\ge\left|\left|z-4-5i\right|-\left|w-3-4i\right|\right|=\left|\left|z-4-5i\right|-1\right|\)

Gọi M là điểm biểu diễn z và \(A\left(4;5\right)\Rightarrow\left|z-4-5i\right|=AM\)

\(AM_{min}=d\left(A;d\right)=\dfrac{\left|4+5+1\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}=5\sqrt{2}\) 

\(\Rightarrow P\ge\left|5\sqrt{2}-1\right|=5\sqrt{2}-1\)

sao ở đây lại có dấu ≥ ạ?

P=|(z−4−5i)−(w−3−4i)|≥||z−4−5i|−|w−3−4i||