Phương trình đường thẳng d có dạng:

\(y=kx-2k+1\)

Tọa độ A và B có dạng: \(A\left(\dfrac{2k-1}{k};0\right)\) ; \(B\left(0;-2k+1\right)\)

Để A, B nằm trên các tia Ox, Oy \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2k-1}{k}>0\\-2k+1>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow k< 0\)

Khi đó ta có: \(S_{OAB}=\dfrac{1}{2}OA.OB=4\Leftrightarrow OA.OB=8\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{2k-1}{k}\right)\left(-2k+1\right)=8\)

\(\Leftrightarrow4k^2-4k+1=-8k\Leftrightarrow4k^2+4k+1=0\Rightarrow k=-\dfrac{1}{2}\)

Phương trình d: \(y=-\dfrac{1}{2}x+2\)

Lời giải:

Vì ĐT cần tìm đi qua $M(1,4)$ nên PTĐT có dạng:

$a(x-1)+b(y-4)=0\Leftrightarrow ax+by-(a+4b)=0(d)$ với $a^2+b^2\neq 0$

$A\in Ox\Rightarrow y_A=0$

$A\in (d)\Rightarrow ax_A+by_A-(a+4b)=0$

$\Leftrightarrow ax_A-(a+4b)=0\Rightarrow x_A=\frac{a+4b}{a}$

$B\in Oy\Rightarrow x_B=0$

$B\in (d)\Rightarrow ax_B+by_B-(a+4b)=0$

$\Leftrightarrow by_B-(a+4b)=0\Rightarrow y_B=\frac{a+4b}{b}$

Diện tích tam giác $ABC$:

$\frac{OB.OA}{2}=\frac{|y_B|.|x_A|}{2}=|\frac{(a+4b)^2}{ab}|\geq |\frac{(2\sqrt{4ab})^2}{ab}|=16$

Vậy $S_{OAB}$ min $=16$. Giá trị này đạt tại $a=4b$

Thay vào PTĐT $(d)$:

$4bx+by-(4b+4b)=0$

$\Leftrightarrow b(4x+y-8)=0$. Do $a=4b$ và $a^2+b^2\neq 0$ nên $b\neq 0$

$\Rightarrow 4x+y-8=0$

Đây chính là PTĐT cần tìm.

Mình chưa hiểu lắm dấu = thứ 2 ở dòng dưới cái dòng diện tích tam giác ABC ạ, bạn giải thích dùm mình với

Đường tròn \((C)\) tâm \(I(a;b)\) bán kính \(R\)có phương trình

\((x-a)^2+(y-b)^2=R^2.\)

\(∆MAB ⊥ M\) \(\rightarrow \) \(AB\) là đường kính suy ra \(∆\) qua \(I\) do đó:

\(a-b+1=0 (1)\)

Hạ \(MH⊥AB\) có \(MH=d(M, ∆)= \dfrac{|2-1+1|}{\sqrt{2}}={\sqrt{2}} \)

\(S_{ΔMAB}=\dfrac{1}{2}MH×AB \Leftrightarrow 2=\dfrac{1}{2}2R\sqrt{2} \)

\(\Rightarrow R = \sqrt{2} \)

Vì đường tròn qua\(M\) nên (\(2-a)^2+(1-b)^2=2 (2)\)

Ta có hệ : 

\(\begin{cases} a-b+1=0\\ (2-a)^2+(1-b)^2=0 \end{cases} \)

Giải hệ \(PT\) ta được: \(a=1;b=2\).

\(\rightarrow \)Vậy \((C) \)có  phương trình:\((x-1)^2+(y-2)^2=2\)

a: A(1;2); B(2;1)

=>\(\overrightarrow{AB}=\left(1;-1\right)\)

=>VTPT là (1;1)

Phương trình đường thẳng AB là:

1(x-1)+2(y-1)=0

=>x-1+2y-2=0

=>x+2y-3=0

b:

M(1;3); Δ: 3x+4y+10=0

Khoảng cách từ M đến Δ là:

\(d\left(M;\text{Δ}\right)=\dfrac{\left|1\cdot3+3\cdot4+10\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\dfrac{\left|3+12+10\right|}{5}=5\)

Đường thẳng d qua M có dạng: \(y=ax+b\)

Thế tọa độ M: \(1=a+b\Rightarrow b=1-a\Rightarrow y=ax+1-a\) với \(a\ne\left\{0;1\right\}\)

Tọa độ A: \(A\left(\dfrac{a-1}{a};0\right)\) ; tọa độ B: \(B\left(0;1-a\right)\) \(\Rightarrow a< 0\)

\(\Rightarrow OA=\dfrac{a-1}{a}\) ; \(OB=1-a\)

\(S_{OAB}=\dfrac{1}{2}OA.OB=2\Leftrightarrow\left(\dfrac{a-1}{a}\right)\left(1-a\right)=4\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2+4a=0\Leftrightarrow a^2+2a+1=0\Rightarrow a=-1\)

\(\Rightarrow y=-x+2\)