Gọi 3 độ dài kích thước hình hộp chữ nhật là a;b;h .

Gọi độ dài 1 cạnh hình lập phương là c 

=> V_hhcn = a.b.h

V_hlp = c³ ; mà a + b + h = c + c + c = 3c

Khi đó V_hlp = c³ = \(\left(\frac{a+b+h}{3}\right)^3\ge\left(\frac{3\sqrt[3]{abh}}{3}\right)^3=abh\)= V_hhcn 

=> ĐPCM ("=" khi a = b = h = c)

a) Ta có \(V_{hhcn}=V_{hlp}\)

=> a.b.h = c³ 

Lại có : a + b + h \(\ge3\sqrt[3]{abh}=3\sqrt[3]{c^3}=3c\)

=> a + b + h \(\ge3c\)

=> ĐPCM 

Gọi hình chữ nhật là ABCD, nội tiếp đường tròn tâm O.

Vì tam giác ABC vuông tại B nên nội tiếp đường tròn đường kính AC, mà đường tròn đó chính là đường tròn tâm O ở trên

=> O là trung điểm AC.

Tương tự, O cũng là trung điểm BD.

b/ Chu vi lớn nhất.

Chu vi = 2(AB+BC) nên cần tìm giá trị AB+BC lớn nhất.

Mà ABC vuông tại B nên theo Pythagoras: \(AB^2+CB^2=AC^2=4R^2\)

Áp dụng bất đẳng thức \(\left(x-y\right)^2\ge0\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\le2\left(x^2+y^2\right)\Leftrightarrow x+y\le\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\text{ }\left(x,y>0\right)\)

\(AB+BC\le\sqrt{2\left(AB^2+BC^2\right)}=\sqrt{8R^2}=2R\sqrt{2}=\text{không đổi.}\)

Dấu "=" xảy ra khi AB=BC <=> ABC vuông cân tại B <=> OB vuông góc AC <=> ABCD là hình vuông <=> ........ (bất cứ cái gí mình cần).

a/ Diện tích lớn nhất.

Tương tự như trên 

\(S_{ABCD}=AB.BC\le\frac{AB^2+BC^2}{2}=2R^2\)

Dấu "=" xra khi AB=BC <=>....Hình vuông

Lời giải:

Gọi chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật lần lượt là $a$ và $b$ (m)

Độ dài đường chéo: $17=\sqrt{a^2+b^2}$ (theo định lý Pitago)

$\Leftrightarrow a^2+b^2=289(1)$

Diện tích hình chữ nhật: $ab=120$

Ta đi giải hpt \(\left\{\begin{matrix} a^2+b^2=289\\ ab=120\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (a+b)^2-2ab=289\\ ab=120\end{matrix}\right.\)

$\Rightarrow (a+b)^2=289+2ab=289+2.120=529$

$\Rightarrow a+b=23$

Chu vi hình chữ nhật: $2(a+b)=46$ (m)