Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Để chứng minh tứ giác $EFOH$ là tứ giác nội tiếp, ta cần chứng minh $\angle EHF = \angle EOF$.
Ta có $\angle EHA = \angle HAB$ (do $SA$ và $SB$ là hai tiếp tuyến của đường tròn $O$), suy ra $\angle AHB = 90^\circ$.
Do đó, $\angle EHF = \angle EHA + \angle AHF = \angle HAB + \angle AOF = \angle EOF$ (do $OA$ và $OB$ là đường kính của đường tròn $O$).
Vậy, tứ giác $EFOH$ là tứ giác nội tiếp.
Để chứng minh $AM \cdot AB = AF \cdot AE$, ta sử dụng định lí Euclid về tích của các đoạn thẳng từ một điểm đến đường thẳng cắt nó.
Áp dụng định lí này cho đường thẳng $AH$ và đường tròn $O$, ta có:
$AM \cdot AB = AH^2 - OH^2$
$AF \cdot AE = AH^2 - HE \cdot HF$
Vì tứ giác $EFOH$ là tứ giác nội tiếp, nên $HE \cdot HF = OE \cdot OF$.
Do đó, $AM \cdot AB = AH^2 - OH^2 = AH^2 - OE \cdot OF = AF \cdot AE$.
Vậy, ta đã chứng minh được $AM \cdot AB = AF \cdot AE$.
Bài 1 :
a.Ta có MC là tiếp tuyến của (O)
\(\Rightarrow MC\perp OC\)
Mà \(MK\perp KD\Rightarrow\widehat{MCO}=\widehat{MKD}=90^0\Rightarrow OCDK\) nội tiếp
b.Vì MC là tiếp tuyến của (O)
\(\Rightarrow\widehat{MCA}=\widehat{MBC}\Rightarrow\Delta MCA~\Delta MBC\left(g.g\right)\)
\(\Rightarrow\frac{MC}{MB}=\frac{MA}{MC}\Rightarrow MC^2=MA.MB\)
c . Vì MO∩(O)=AB \(\Rightarrow AB\) là đường kính của (O)
\(\Rightarrow AC\perp BC\Rightarrow\widehat{BCD}+\widehat{MCA}=90^0\Rightarrow\widehat{BCD}=90^0-\widehat{MCA}\)
Mà \(\widehat{MCA}=\widehat{MBC}\Rightarrow\widehat{MCD}=90^0-\widehat{ABN}=\widehat{BNK}=\widehat{CND}\)
\(\Rightarrow\Delta DCN\) cân
d ) Ta có : \(\widehat{BFD}=90^0=\widehat{BKD}\) vì AB là đường kính của (O)
\(\Rightarrow BKFD\) nội tiếp
\(\Rightarrow\widehat{FDK}=\widehat{KBF}=\widehat{ABC}+\widehat{CBF}=\widehat{MCA}+\widehat{FCD}=\widehat{DCE}\)
\(+\widehat{FCD}=\widehat{FCE}\)
Vì MC là tiếp tuyến của (O)
\(\Rightarrow CEDF\) nội tiếp
a: Xét ΔSCE và ΔSFC có
góc SCE=góc SFC
góc CSE chung
=>ΔSCE đồng dạng với ΔSFC
=>SC^2=SE*SF
b: ΔOEF cân tại O
mà OI là trung tuyến
nên OI vuông góc FE
góc OIS+góc OBS=180 độ
=>OISB nội tiếp
a.
$I$ là trung điểm của $CD$ nên $OI \perp CD$.
$\Rightarrow \widehat{SIO} = 90^{\circ}$.
Mà $\widehat{SAO} = \widehat{SBO} = 90^{\circ}$.
Suy ra 5 điểm $S,A,I,O,B$ cùng thuộc đường tròn đường kính $SO$.
Ta có $\widehat{SAC} = \widehat{ADC}$ (cùng chắn cung AC).
Xét $\Delta SAC$ và $\Delta SDA$ có
$\widehat{S}$ chung;
$\widehat{SAC} = \widehat{ADC}$
$\Rightarrow \Delta SAC \sim \Delta SDA$ (g.g).
$\Rightarrow \dfrac{SA}{SD} = \dfrac{SC}{SA} \Rightarrow SA^2 = SC.SD.$
b.
$\Delta SAO$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$.
$\Rightarrow SA^2 = SH.SO$.
Từ câu a ta có $SH.SO = SC.SA = SA^2 \Rightarrow \dfrac{SH}{SD} = \dfrac{SC}{SO}$.
Xét $\Delta SCH$ và $\Delta SOD$ có
$\widehat{S}$ chung;
$\dfrac{SH}{SD} = \dfrac{SC}{SO}$
$\Rightarrow \Delta SCH \sim \Delta SOD$ (c.g.c).
$\Rightarrow \widehat{SCH} = \widehat{SOD}$ (hai góc tương ứng)
$\Rightarrow CHOD$ nội tiếp.
c.
Ta có $AD // SB$, $OB \perp SB \Rightarrow OB \perp AD.$
Mà đường kính thì đi qua trung điểm day cung nên $BO$ đi qua trung điểm của AD. (1)
Áp dụng định lí Talet với $AD // SB$, $E = AB \cap SD$ và $F = ME \cap AD$.
$\Rightarrow \dfrac{FD}{SM} = \dfrac{ED}{SE} = \dfrac{AD}{SB} \Rightarrow \dfrac{SM}{SB} = \dfrac{FD}{AD} \Rightarrow F$ là trung điểm của $AD$.
Mà theo (1) $BO$ đi qua trung điểm $F$ của $AD$ nên ba điểm $B,O,F$ thẳng hàng.