+ Xét tg BCD có EF là đường trung bình => EF//=CD/2

+ Xét tg ACD có GH là đường trung bình => GH//=CD/2

=> EF//=GH => EFGH là hình bình hành (1)

+ Xét tg ABC có HE là đường trung bình => HE=AB/2 mà EF=CD/2 và AB=CD => EF=HE (2)

Từ 91) và (2) => EFGH là hình thoi => EG vuông góc với FH (2 đường chéo của hình thoi vuông góc với nhau)

* Trong ∆ BCD, ta có:

E là trung điểm của BC (gt)

F là trung điểm của BD (gt)

Suy ra EF là đường trung bình của  ∆ BCD

⇒ EF // CD và EF = 1/2 CD (1)

* Trong  ∆ ACD, ta có: H là trung điểm của AC (gt)

G là trung điểm của AD (gt)

Suy ra HG là đường trung bình của  ∆ ACD

⇒HG // CD và HG = 1/2 CD (2)

Từ (1) và (2) suy ra: EF // HG và EF = HG

Suy ra tứ giác EFGH là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau).

* Mặt khác: EF // CD (chứng minh trên)

AB ⊥ CD (gt)

Suy ra EF ⊥ AB

Trong  ∆ ABC ta có HE là đường trung bình ⇒ HE // AB

Suy ra: HE ⊥ EF hay ∠ (FEH) = 90 0

Vậy hình bình hành EFGH là hình chữ nhật.

Bạn xem lại đề bài xem, nếu đã là tứ giác ABCD thì không bao giờ AB vuông góc CD đâu.

Vì HG là đường trung bình của tam giác ACD nên HG // CD. Tương tự EF là đường trung bình của tam giác BCD nên EF // CD.

Xét ΔABD có 

E là trung điểm của AB

H là trung điểm của AD

Do đó: EH là đường trung bình của ΔABD

Suy ra: EH//BD và \(EH=\dfrac{BD}{2}\left(1\right)\)

Xét ΔBCD có

F là trung điểm của BC

G là trung điểm của DC
Do đó: FG là đường trung bình của ΔBCD

Suy ra: GF//BD và \(FG=\dfrac{BD}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra HE//GF và HE=GF

Xét ΔBAC có 

E là trung điểm của AB

F là trung điểm của BC

Do đó: EF là đường trung bình của ΔBAC

Suy ra: EF//AC

Xét tứ giác EHGF có 

EH//GF

EH=GF

Do đó: EHGF là hình bình hành

mà EG=HF

nên EHGF là hình chữ nhật

Suy ra: \(\widehat{HEF}=90^0\)

⇒HE⊥FE

⇔HE⊥AC

⇔BD⊥AC

a: Xét ΔABC có

E là trung điểm của BC

F là trung điểm của CA
Do đó: EFlà đường trung bình

=>EF//AB và EF=AB/2(1)

Xét ΔABD có

H là trung điểm của DB

G la trung điểm của AD

Do đó: HG là đường trung bình

=>HG//AB và HG=AB/2(2)

Từ (1) và (2) suy ra HG//FE và HG=FE

b: HE=DC/2

EF=AB/2

mà AB=DC

nên HE=FE

Xét tứ giác EFGH có 

EF//GH

EF=GH

Do đó: EFGH là hình bình hành

mà EH=EF

nên EFGH là hình thoi