a) Chọn trục Ox hướng thẳng đứng lên trên, gốc O tại điểm ném, gốc thời gian t=0 

tại thời điểm ném thì:\(\left\{{}\begin{matrix}v=v_0-gt\\x=v_0t-\dfrac{1}{2}gt^2\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

Tại điểm cao nhất của vật thì v=0\(\Rightarrow v_0-gt=0\Rightarrow t=\dfrac{v_0}{g}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow x=v_0.\dfrac{v_0}{g}-\dfrac{1}{2}g\left(\dfrac{v_0}{g}\right)^2=\dfrac{v_0^2}{g}=h_{max}\) ( Học thuộc luôn càng tốt :D không phải nhớ cách chứng minh làm gì này viết cho bn hiểu thôi. )

\(\Rightarrow h_{max}=\dfrac{v_0^2}{2g}=5\left(m\right)\)

b) Hình như mình đã chứng minh tổng quát 1 câu hỏi của bạn :D xin phép không chứng minh lại ^^

Bảo toàn cơ năng: 

\(W_O=W_A\) \(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}mv^2=4mgh'\) ( lý do tại sao bạn xem lại cách chứng minh :D ) 

\(\Leftrightarrow h'=1,25\left(m\right)\)

c) \(W=W_đ+W_t=mgz=75\left(J\right)\) ( Tại điểm cao nhất v=0 )

Chọn mốc thế năng ở mặt đất.

a) Cơ năng của vật: \(W=\dfrac{1}{2}mv_0^2==\dfrac{1}{2}.0,5.10^2=25(J)\)

b) Vật có thế năng bằng động năng \(W_t=W_đ=\dfrac{W}{2}=\dfrac{25}{2}=12,5(J)\)

\(W_t=mgh\Rightarrow h = \dfrac{12,5}{0,5.10}=2,5(m)\)

c) Khi thế năng bằng nửa động năng: \(W_t=\dfrac{W_đ}{2}\Rightarrow W=W_đ+W_t=1,5W_đ=1,5.\dfrac{1}{2}.0,5.v^2=25\)

\(\Rightarrow v=\dfrac{10}{\sqrt{1,5}}(m/s)\)

Tại sao W/2 vậy bạn

Chọn mốc thế năng tại mặt đất

`a)W_[20 m]=W_[t(20m)]+W_[đ(20m)]=mgz_[20m] + 1/2mv_[20m]^2`

                   `=m.10.20+1/2 . m . 15^2=312,5m (J)`

`b)W=W_t+W_đ` mà `W_đ=W_t`

`=>W=2W_t`

`=>312,5m = 2 mgz = 2m.10.z`

`=>z=15,625(m)`

`c)W_[đ(max)]=W=312,5m`

`<=>1/2mv_[max]^2=312,5m`

`<=>v_[max]=25 (m//s)`

Chọn mốc thế năng tại mặt đất

a. Cơ năng của vật tại vị trí ném. Gọi A là vị trí ném 

v A = 8 ( m / s ) ; z A = 4 ( m )

W A = 1 2 m v A 2 + m g z A = 1 2 .0 , 1.8 2 + 0 , 1.10.4 = 7 , 2 ( J )

b. B là độ cao cực đại  v B = 0 ( m / s )

Theo định luật bảo toàn cơ năng: 

W A = W B ⇒ 7 , 2 = m g z B ⇒ z B = 7 , 2 0 , 1.10 = 7 , 2 ( m )

c. Gọi C là mặt đất  z C = 0 ( m )

Theo định luật bảo toàn cơ năng 

W A = W C ⇒ 7 , 2 = 1 2 m v C 2 ⇒ v C = 7 , 2.2 m = 7 , 2.2 0 , 1 = 12 ( m / s )

d. Gọi D là vị trí để vật có động năng bằng thế năng

W A = W D ⇒ W A = W d + W t = 2 W t ⇒ 7 , 2 = 2 m g z D ⇒ z D = 7 , 2 2 m g = 7 , 2 2.0 , 1.10 = 3 , 6 ( m )

e. Gọi E là vị trí để W d = 2 W t

Theo định luật bảo toàn năng lượng 

W A = W E ⇒ W A = W d + W t = 3 2 W d ⇒ 7 , 2 = 3 2 . 1 2 m v E 2 ⇒ v E = 7 , 2.4 3. m = 28 , 8 3.0 , 1 = 4 6 ( m / s )

f. Gọi F là vị trí  của vật khi vật ở độ cao 6m

Theo định luật bảo toàn năng lượng 

W A = W F ⇒ W A = W d + W t = 1 2 m v F 2 + m g z F ⇒ 7 , 2 = 1 2. .0 , 1. v F 2 + 0 , 1.10.6 ⇒ v F = 2 6 ( m / s )

g.Gọi G là vị trí để vận tốc của vật là 3m/s

Theo định luật bảo toàn năng lượng 

W A = W G ⇒ W A = W d + W t = 1 2 m v G 2 + m g z G ⇒ 7 , 2 = 1 2 .0 , 1.3 2 + 0 , 1.10. z G ⇒ z G = 6 , 75 ( m )

h. Gọi H là vị trí mà vật có thể lên được khi vật chịu một lực cản F = 5N Theo định lý động năng  A = W d H − W d A

⇒ − F . s = 0 − 1 2 m v A 2 ⇒ s = m v A 2 F = 0 , 1.8 2 5 = 1 , 28 ( m )

Vậy độ cao của vị trí H so với mặt đất là 4+1,28 =5,28m

a, Cơ năng của vật ở mặt đất thì 

\(\Leftrightarrow W_t=0\\ \Leftrightarrow W_đ=\dfrac{mv^2}{2}=\dfrac{0,5.10^2}{2}=25\left(J\right)\\ \Rightarrow W=W_t+W_đ=25\left(J\right)\) 

b, Tại vtrí vật đạt độ cao cực đại thì \(v=0\)

\(\Rightarrow W_t=W\Leftrightarrow mgh=25\left(J\right)\\ \Leftrightarrow h_{max}=\dfrac{25}{m.g}=0,25\left(m\right)\) 

c, Tại vtrí động năng = 4 lần thế năng

\(W_đ=4W_t\\ \Leftrightarrow W_t=W=25\left(J\right)\\ \Rightarrow W_t=\dfrac{W}{5}=5\left(J\right)\\ mgh=5\left(J\right)\Rightarrow h=0,05\left(m\right)\) 

d, Vận tốc của vật \(W_đ=2W_t\) 

\(W=W_d+W_t=3W_t=3mgh\\ \Rightarrow mv^2=mgh\\ \Rightarrow v=\sqrt{gh}=\dfrac{\sqrt{10}}{2}\left(m/s\right)\)

Hình bạn tự vẽ nè :^)

Chọn mốc thế năng tại mặt đất ta có

\(W_đ=\dfrac{1}{2}mv^2=\dfrac{1}{2}.0,4.20^2=80\left(J\right)\)

\(W_t=mgh=160\left(J\right)\)

\(W=W_t+W_đ=80+160=240\left(J\right)\)

b) Gọi B là vị trí có độ cao \(H_{max}\)

Ta có: \(W_A=W_B\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}mv^2+mgh=mgh_{max}\)

\(\Leftrightarrow240=0,4.10.h_{max}\)

\(\Leftrightarrow h_{max}=60\left(m\right)\)

Thời gian chuyển động:

\(h=v_ot+\dfrac{gt^2}{2}\)

\(\Leftrightarrow60=20t+5t^2\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=-6\left(Loại\right)\\\\t=2\left(TM\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy t=2(s)

Gọi vị trí mà cơ năng bằng 2 thế năng là C

\(\Rightarrow W_C=3W_{tC}\)

áp dụng định luật bảo toàn cơ năng tại A và C:

\(W_A=W_C\)

\(\Leftrightarrow240=2mgh'\)

\(\Leftrightarrow240=2.0,4.10.h'\)

\(\Leftrightarrow h=30\left(m\right)\)

Vậy vị trí cơ năng bằng 2 thế năng có độ cao h=30(m)

Cơ năng vật ban đầu:

\(W=\dfrac{1}{2}mv^2+mgz=\dfrac{1}{2}\cdot m\cdot3^2+m\cdot10\cdot0=\dfrac{9}{2}m\left(J\right)\)

Cơ năng vật tại nơi có độ cao \(h_{max}\) là \(W_1=mgh_{max}\left(J\right)\)

Bảo toàn cơ năng :\(W=W_1\)

\(\Rightarrow\dfrac{9}{2}m=mgh_{max}\Rightarrow h_{max}=0,45m\)

Cơ năng vật tại nơi có \(W_đ=W_t\):

\(W_2=W_đ+W_t=2W_đ=2\cdot\dfrac{1}{2}mv'^2=mv'^2\left(J\right)\)

Bảo toàn cơ năng: \(W=W_2\)

\(\Rightarrow\dfrac{9}{2}m=mv'^2\Rightarrow v'=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\)m/s