Gọi O là giao của AC với BD trong mp(ABCD)

Trong mp(SBD), gọi E là giao của SO với DM

\(E\in SO\subset\left(SAC\right)\)

\(E\in DM\subset\left(ADM\right)\)

=>E thuộc (SAC) giao (ADM)

mà \(A\in\left(SAC\right)\cap\left(ADM\right)\)

nên \(\left(SAC\right)\cap\left(ADM\right)=EA\)

Qua \(M\) dựng đường thẳng song song với \(BC\), cắt \(AB\) tại \(N\).

Qua \(N\) dựng đường thẳng song song với \(SA\), cắt \(SB\) tại \(P\).

Qua \(P\) dựng đường thẳng song song với \(BC\), cắt \(SC\) tại \(Q\).

Vì \(MN\parallel BC,NP\parallel SA\) nên \(\left( {MNPQ} \right) \equiv \left( P \right)\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}MN = \left( P \right) \cap \left( {ABC{\rm{D}}} \right)\\NP = \left( P \right) \cap \left( {SAB} \right)\\PQ = \left( P \right) \cap \left( {SBC} \right)\\MQ = \left( P \right) \cap \left( {SC{\rm{D}}} \right)\end{array}\)

Gọi \(E\) là giao điểm của \(A{\rm{D}}\) và \(MN\), \(F\) là giao điểm của \(S{\rm{D}}\) và \(MQ\). Ta có:

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}E \in A{\rm{D}} \subset \left( {SA{\rm{D}}} \right)\\E \in MN \subset \left( P \right)\end{array} \right\} \Rightarrow E \in \left( P \right) \cap \left( {SA{\rm{D}}} \right)\\\left. \begin{array}{l}F \in S{\rm{D}} \subset \left( {SA{\rm{D}}} \right)\\F \in MQ \subset \left( P \right)\end{array} \right\} \Rightarrow F \in \left( P \right) \cap \left( {SA{\rm{D}}} \right)\\ \Rightarrow EF = \left( P \right) \cap \left( {SA{\rm{D}}} \right)\end{array}\)

Ta có: SD và AB chéo nhau.

Vì AB và SD chéo nhau nên AB không nằm trong mp(SCD).

Vì AB // CD nên AB // mp(SCD).

Vậy (SCD) là mặt phẳng chứa SD và song song với AB.

Mặt phẳng (SAD) chứa đường thẳng AD song song với mp(P) nên mặt phẳng (P) cắt (SAD) theo giao tuyến  song song với AD. Vẽ EG // AD (G thuộc SD) thì EG là giao tuyến của (P) và (SAD).

Mặt phẳng (SAB) chứa đường thẳng AB song song với mp(P) nên mặt phẳng (P) cắt (SAB) theo giao tuyến  song song với AB. Vẽ EF // AB (F thuộc SB) thì EF là giao tuyến của (P) và (SAB).

Ta có AB // CD, EF // AB suy ra CD // EF hay CD // mp(P)

Mặt phẳng (SCD) chứa đường thẳng CD song song với mp(P) nên mặt phẳng (P) cắt (SCD) theo giao tuyến  song song với CD. Vẽ GH // CD (H thuộc SC) thì GH là giao tuyến của (P) và (SCD).

FH thuộc (P), FH thuộc (SBC) suy ra FH là giao tuyến của (P) và (SBC).

Tứ giác EFGH có EF // GH (vì cùng song song với CD) suy ra EFGH là hình thang.

Ta có: Sx là giao tuyến (SAD) và (SBC) sao cho Sx // AD // BC (1)

Có : M, N là trung điểm của AB, CD

Suy ra: MN // AD // BC (2) 

Từ (1)(2) suy ra: MN // Sx.

a: \(G\in\left(SCD\right);G\in\left(GAB\right)\)

Do đó: \(G\in\left(SCD\right)\cap\left(GAB\right)\)

Xét (SCD) và (GAB) có

\(G\in\left(SCD\right)\cap\left(GAB\right)\)

CD//AB

Do đó: (SCD) giao (GAB)=xy, xy đi qua G và xy//AB//CD

IJ là đường trung bình của hình thang \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}IJ||AB\\IJ=\dfrac{AB+CD}{2}\end{matrix}\right.\)

Qua G kẻ đường thẳng song song AB lần lượt cắt SB, SA tại E và F

\(\Rightarrow\) Tứ giác IJEF là thiết diện của (GIJ) và chóp

\(EF||AB||IJ\Rightarrow IJEF\) là hình thang

Gọi M là trung điểm AB

Theo tính chất trọng tâm và định lý Talet:

\(\dfrac{EF}{AB}=\dfrac{SG}{SM}=\dfrac{2}{3}\)

Để IJEF là hình bình hành \(\Leftrightarrow IJ=EF\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2}{3}AB=\dfrac{AB+CD}{2}\Leftrightarrow\dfrac{1}{3}AB=CD\)

\(\Rightarrow AB=3CD\)

a) \(M\) là trung điểm của \(AB\)

\(N\) là trung điểm của \(C{\rm{D}}\)

\( \Rightarrow MN\) là đường trung bình của hình bình hành \(ABCD\)

\( \Rightarrow MN\parallel A{\rm{D}}\parallel BC\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}MN\parallel BC\\BC \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow MN\parallel \left( {SBC} \right)\\\left. \begin{array}{l}MN\parallel A{\rm{D}}\\A{\rm{D}} \subset \left( {SA{\rm{D}}} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow MN\parallel \left( {SA{\rm{D}}} \right)\end{array}\)

b) \(M\) là trung điểm của \(AB\)

\(E\) là trung điểm của \(SA\)

\( \Rightarrow ME\) là đường trung bình của tam giác \(SAB\)

\(\left. \begin{array}{l} \Rightarrow ME\parallel SB\\ME \subset \left( {MNE} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow SB\parallel \left( {MNE} \right)\)

Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\)

\( \Rightarrow O\) là trung điểm của \(AC\) và \(O,M,N\) thẳng hàng

Mà \(E\) là trung điểm của \(SA\)

\( \Rightarrow OE\) là đường trung bình của tam giác \(SAC\)

\(\left. \begin{array}{l} \Rightarrow OE\parallel SC\\OE \subset \left( {MNE} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow SC\parallel \left( {MNE} \right)\)