a) y = x 3  − (m + 4) x 2  − 4x + m

⇔ ( x 2  − 1)m + y − x 3  + 4 x 2  + 4x = 0

Đồ thị của hàm số (1) luôn luôn đi qua điểm A(x; y) với mọi m khi (x; y) là nghiệm của hệ phương trình:

Giải hệ, ta được hai nghiệm:

Vậy đồ thị của hàm số luôn luôn đi qua hai điểm (1; -7) và (-1; -1).

b) y′ = 3 x 2  − 2(m + 4)x – 4

Δ′ = ( m + 4 ) 2  + 12

Vì Δ’ > 0 với mọi m nên y’ = 0 luôn luôn có hai nghiệm phân biệt (và đổi dấu khi qua hai nghiệm đó). Từ đó suy ra đồ thị của (1) luôn luôn có cực trị.

c) Học sinh tự giải.

d) Với m = 0 ta có: y = x 3  – 4 x 2  – 4x.

Đường thẳng y = kx sẽ cắt (C) tại ba điểm phân biệt nếu phương trình sau có ba nghiệm phân biệt:  x 3  – 4 x 2  – 4x = kx.

Hay phương trình  x 2  – 4x – (4 + k) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 0, tức là:

Đáp án C

Đồ thị hàm số  y = f ( x ) gồm hai phần:

Phần 1. Giữ nguyên phần đồ thị nằm phía trên trục hoành.

Phần 2. Lấy đối xứng phần nằm dưới trục hoành qua trục hoành

Dựa vào đồ thị, ta thấy đường thẳng d và đồ thị (C) có hai điểm chung khi

Phương trình hoành độ giao điểm của (C)  và đường thẳng d:

2 x + 1 x - 1 = x + m ( x ≠ 1 ) ⇔ x 2 + ( m - 3 ) x - m - 1 = 0     ( 1 )

Khi đó  cắt (C)  tại hai điểm phân biệt  A: B khi và chi khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác -1 

⇔ ( m - 3 ) 2 + 4 ( m + 1 ) > 0 1 2 + ( m - 3 ) - m - 1 ≠ 0 ⇔ m 2 - 2 m + 13 > 0 - 1 ≠ 0  luôn đúng

Gọi A( x₁ ; x₁+m) ; B( x₂ ; x₂+m)  trong đó x₁ ; x₂ là nghiệm của (1) , theo Viet ta có 

x 1 + x 2 = 3 - m x 1 x 2 = - m - 1

Gọi I ( x 1 + x 2 2 ; ( x 1 + x 2 + 2 m 2 )   là trung điểm của AB, suy ra I ( 3 - m 2 ; 3 + m 2 )  , nên

C I → ( - 2 - 3 - m 2 ; 5 - 3 + m 2 )  

⇒ C I = 1 2 ( m - 7 ) 2 + ( 7 - m ) 2 .

Mặt khác A B → = ( x 2 - x 1 ;   x 2 - x 1 )

⇒ A B = 2 ( x 2 - x 1 ) 2 = 2 ( m 2 - 2 m + 13 ) 2

Vậy tam giác ABC  đều khi và chỉ khi

Chọn A

Câu 1: B

Câu 2: C

Câu 3: A

Câu 4: A

Câu 5: B

Câu 6: A

=)))))))

Chọn C.

Phương pháp

Xét phương trình hoành độ giao điểm.

Đường thẳng cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt nếu phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt.

Cách giải:

ĐKXĐ: x  ≠ 1

Xét phương trình hoành độ giao điểm  x - 1 x + 1 = -x + m (*)

Với x  ≠ -1 thì (*)  ⇔ x - 1 = (x+1)(-x+m)

Đường thẳng y = -x + m cắt đồ thị  tại hai điểm phân biệt ⇔ phương trình (**) có hai nghiệm phân biệt khác -1.

Vậy m ∈ ℝ