ĐKXĐ:\(\left\{{}\begin{matrix}x\ne1\\x\ne2\\x\ne7\end{matrix}\right.\)

\(\dfrac{2\left(x-4\right)}{\left(x-1\right)\left(x-7\right)}\ge\dfrac{1}{x-2}\\ \Leftrightarrow\dfrac{2x-8}{x^2-8x+7}\ge\dfrac{1}{x-2}\\ \Leftrightarrow\left(2x-8\right)\left(x-2\right)\ge x^2-8x+7\)

\(\Leftrightarrow2x^2-12x+16\ge x^2-8x+7\\ \Leftrightarrow x^2-4x+9\ge0\left(luôn.đúng\right)\)

Có lẽ đây là 1 đề bài ko chính xác

- Với \(\left[{}\begin{matrix}x\le-1\\x\ge4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}VP>0\\VT\le0\end{matrix}\right.\) BPT luôn đúng

- Với \(-1< x< 4\)

\(VT\le\dfrac{1}{4}\left(x+1+4-x\right)^2=\dfrac{25}{4}\)

\(VP=5\sqrt{\left(x+\dfrac{5}{2}\right)^2+\dfrac{87}{4}}\ge5.\sqrt{\dfrac{87}{4}}>\dfrac{25}{4}>VT\)

Vậy BPT luôn đúng hay tập nghiệm của BPT đã cho là R

Vì $3x^2-x+1>0,x^2+1>0$

$\to \begin{cases}x^2 \geq 4\x<-1\\\end{cases}$

$\to \begin{cases}\left[ \begin{array}{l}x \geq 2\\x \leq -2\end{array} \right.\\x<-1\\\end{cases}$

$\to x \leq -2$

Vậy tập xác định của phương trình là `(-oo,-2]`

Ghi nhầm ;-;

a. TH1:

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+3x-4< 0\\3-2x>0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x< 1\\x>-4\end{matrix}\right.\\x>\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)

TH2:

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+3x-4>0\\3-2x< 0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x>1\\x< -4\end{matrix}\right.\\x< \dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)

Vậy nghiệm của BPT:

\(\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x< 1\\x>-4\end{matrix}\right.\\x>\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)      \(\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x>1\\x< -4\end{matrix}\right.\\x< \dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)

ĐK: \(x\ge0;x\le-1\)

\(pt\Leftrightarrow x^2+x-6=\sqrt{x^2+x}-4\)

\(\Leftrightarrow x^2+x-\sqrt{x^2+x}-2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x^2+x}+1\right)\left(\sqrt{x^2+x}-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x^2+x}=-1\left(l\right)\\\sqrt{x^2+x}=2\end{matrix}\right.\)

\(\sqrt{x^2+x}=2\)

\(\Leftrightarrow x^2+x-4=0\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{-1\pm\sqrt{17}}{2}\left(tm\right)\)

Chỗ dấu tương đương số 3 phải là dấu ngoặc (hoặc) chứ không phải và nhé bạn. Như vậy là sai về mặt bản chất. 

Lời giải:

ĐK: $x\neq -5; n\neq 0$

\(\frac{(2x+1)^4(x-3)^3}{(x+5)^2x^5}\leq 0\Leftrightarrow \left[\frac{(2x+1)^2(x-3)}{(x+5)x^2}\right]^2.\frac{x-3}{x}\leq 0\)

\(\Leftrightarrow \frac{x-3}{x}\leq 0\Rightarrow \left[\begin{matrix} x-3\geq 0; x< 0\\ x-3\leq 0; x>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} 0> x\geq 3(\text{vô lý})\\ 3\geq x>0\end{matrix}\right.\)

Vậy $3\geq x>0$

ĐK: $2x^2-3x-4\ge 0,x\ge 1$

PT$\iff x^2+x-1+2\sqrt{x(x-1)(x+1)}=2x^2-3x-4$

$\iff x^2-4x-3=2\sqrt{(x^2-x)(x+1)}$

$\iff (x^2-x)-3(x+1)=2\sqrt{(x^2-x)(x+1)}$

Đặt $\sqrt{x^2-x}=a\ge 0,\sqrt{x+1}=b>0$

Khi đó ta có: $a^2-3b^2=2ab$

$\Rightarrow {\left(\frac{a}{b}\right)}^2-2.\frac{a}{b}-3=0$

$\iff \frac{a}{b}=3$ hoặc $\frac{a}{b}=-1$(loại vì $a,b>0$)

$\frac{a}{b}=3\Rightarrow \sqrt{x^2-x}=3\sqrt{x+1}$

ĐK: \(-1\le x\le1\)

Đặt \(t=\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}\left(\sqrt{2}\le t\le2\right)\)

\(pt\Leftrightarrow7+\dfrac{t^4-4t^2+4}{4}=4t\)

\(\Leftrightarrow t^4-4t^2-16t+32=0\)

\(\Leftrightarrow\left(t-2\right)\left(t^3+2t-16\right)=0\)

\(\Leftrightarrow t=2\) (Vì \(t\le2\Rightarrow t^3+2t-16\le-4\))

\(\Leftrightarrow\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}=2\)

\(\Leftrightarrow2+2\sqrt{1-x^2}=4\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{1-x^2}=1\)

\(\Leftrightarrow x=0\left(tm\right)\)