Xét vế phải : \(\frac{a}{x+1}+\frac{b}{x-2}+\frac{c}{\left(x-2\right)^2}=\frac{a\left(x-2\right)^2}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)^2}+\frac{b\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)^2}+\frac{c\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)^2}\)

\(=\frac{a\left(x^2-4x+4\right)+b\left(x^2-x-2\right)+c\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)^2}\)

\(=\frac{x^2\left(a+b\right)+x\left(-4a-b+c\right)+\left(4a-2b+c\right)}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)^2}\)

So sánh với vế trái, suy ra : 

\(\begin{cases}a+b=2\\-4a-b+c=-1\\4a-2b+c=1\end{cases}\). Giải ra được \(\left(a,b,c\right)=\left(\frac{4}{9};\frac{14}{9};\frac{7}{3}\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(ax+b\right)\left(x-1\right)+c\left(x^2+1\right)=1\)

(a+c)x^2-(a-b)x+(c-b)=1

\(\hept{\begin{cases}a+c=0\\a-b=0\\c-b=1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}c+b=0\\c-b=1\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}c=\frac{1}{2}\\b=-\frac{1}{2}\\a=-\frac{1}{2}\end{cases}}}\)

Phương trình đã cho tương đương:

\(\frac{1}{x\left(x^2+1\right)}=\frac{a\left(x^2+1\right)+bx^2+c}{\text{x}\left(x^2+1\right)}\)

<=> ax^2 + a + bx^2 +cx= 1

Nếu k cho điều kiện của a,b,c thì chỉ làm dc đến đó thôi, có lẽ pahri cần a,b,c nguyên chăng?

\(\frac{1}{x\left(x^2+1\right)}=\frac{a}{x}+\frac{bx+c}{x^2+1}\)

\(\frac{1}{x+\left(x^2+1\right)}=\frac{\text{ã}^2+a+bx^2+cx}{x\left(x^2+1\right)}\)

\(\frac{1}{x\left(x^2+1\right)}=\frac{x^2\left(a+b\right)+cx+a}{x\left(x^2+1\right)}\)

Đồng nhất với phân thức \(\frac{1}{x\left(x^2+1\right)}\)ta được:

\(a+b=0\)\(c=0\)\(a=1\)

\(\Rightarrow b=-1\)

Vậy:\(\frac{1}{x\left(x^2+1\right)}=\frac{1}{x}-\frac{x}{x^2+1}\)

tích hộ nha.Học tốt