Đáp án: D.

y' = 3 x 2 - 6(m - 1)x - 3(m + 1)

y' = 0 ⇔  x 2  - 2(m - 1)x - m - 1 = 0

∆ ' = m - 1 2  + m + 1 =  m 2 - m + 2 ≥ 0

Tam thức  m 2  - m + 2 luôn dương với mọi m ∈ R vì δ = 1 - 8 < 0 và a = 1 > 0 cho nên phương y' = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt. Suy ra hàm số luôn có cực trị với mọi giá trị m ∈ R.

Đáp án: B.

Hàm số đã cho có cực trị khi và chỉ khi

y' = 3 x 2  - 6(m - 1)x - 3(m + 3) = 0 có 2 nghiệm phân biệt

⇔ ∆ ' = m - 1 2  + (m + 3) =  m 2  - m + 4 > 0

Ta thấy tam thức  ∆ ' =  m 2  - m + 4 luôn dương với mọi m vì

δ = 1 - 16 = -15 < 0, a = 1 > 0

Vậy hàm số đã cho luôn có cực trị mới mọi m  ∈  R

Đáp án: B.

Hàm số đã cho có cực trị khi và chỉ khi

y' = 3 x 2  - 6(m - 1)x - 3(m + 3) = 0 có 2 nghiệm phân biệt

⇔ Δ' = ( m - 1 ) 2  + (m + 3) = m 2  - m + 4 > 0

Ta thấy tam thức Δ' =  m 2  - m + 4 luôn dương với mọi m vì

δ = 1 - 16 = -15 < 0, a = 1 > 0

Vậy hàm số đã cho luôn có cực trị mới mọi m ∈ R

Đáp án: A.

- Nếu m = 0 thì y = -2x - 2, hàm số không có cực trị.

- Nếu m ≠ 0: Hàm số không có cực trị khi và chỉ khi phương trình y' = m x 2  + 2mx + 2(m - 1) = 0 không có hai nghiệm phân biệt. Muốn vậy, phải có

Δ' = m 2  - 2m(m - 1) = - m 2  + 2m ≤ 0

⇔ 

Đáp án: A.

- Nếu m = 0 thì y = -2x - 2, hàm số không có cực trị.

- Nếu m ≠ 0: Hàm số không có cực trị khi và chỉ khi phương trình y' = m x 2  + 2mx + 2(m - 1) = 0 không có hai nghiệm phân biệt. Muốn vậy, phải có

∆ ' =  m 2  - 2m(m - 1) = - m 2  + 2m ≤ 0

⇔ 

\(f'\left(x\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x-sinx=0\\x-m-3=0\\x-\sqrt{9-m^2}=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=m+3\\x=\sqrt{9-m^2}\end{matrix}\right.\) 

Do hệ số bậc cao nhất của x dương nên:

- Nếu \(m=-3\Rightarrow f'\left(x\right)=0\) có nghiệm bội 3 \(x=0\) \(\Rightarrow x=0\) là cực tiểu (thỏa mãn)

- Nếu \(m=3\Rightarrow x=0\) là nghiệm bội chẵn (không phải cực trị, ktm)

- Nếu \(m=0\Rightarrow x=3\) là nghiệm bội chẵn và \(x=0\) là nghiệm bội lẻ, đồng thời \(x=0\) là cực tiểu (thỏa mãn)

- Nếu \(m\ne0;\pm3\) , từ ĐKXĐ của m \(\Rightarrow-3< m< 3\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m+3>0\\\sqrt{9-m^2}>0\end{matrix}\right.\)

Khi đó \(f'\left(x\right)=0\) có 3 nghiệm pb trong đó \(x=0\) là nghiệm nhỏ nhất

Từ BBT ta thấy \(x=0\) là cực tiểu

Vậy \(-3\le m< 3\)

cho em hỏi là tại sao m≠0 mà đkxđ của m lại là -3<m<3 ạ ?

Đáp án: C.

Để có cực đại, cực tiểu, phương trình y' = 3 x 2  + 2mx = 0 phải có hai nghiệm phân biệt.

Phương trình y' = x(3x + 2m) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 = 0, x2 = -2m/3 khi và chỉ khi x ≠ 0.

Đáp án: C.

Để có cực đại, cực tiểu, phương trình y' = 3 x 2  + 2mx = 0 phải có hai nghiệm phân biệt.

Phương trình y' = x(3x + 2m) = 0 có hai nghiệm phân biệt  x 1  = 0,  x 2  = -2m/3 khi và chỉ khi x ≠ 0.