Do các số nguyên dương là phân biệt nên tổng 3 số bất kì bao giờ cũng lớn hơn 3

Xét số dư trong phép chia các số này cho 3. Nếu các số dư là 0;1;2 đều xuất hiện thì ta lấy 3 số tương ứng, ta sẽ được tổng 3 số chia hết cho 3

=>LOại

Nếu có 1 số dư nào đó không xuất hiện thì có 5 số và chỉ có nhiều nhất 2 số dư

=>Suy ra tồn tại 3 số có cùng số dư

=>Ba số này có tổng chia hết cho 3

=>ĐPCM

Gọi 5 số đó là a; b; c; d; e . ta có a+ b + c + d + e = 1

Không mất tính tổng quát, giả sử  0 < a < b < c < d < e 

Nhận xét: c + d < \(\frac{2}{3}\). Vì nếu c + d > \(\frac{2}{3}\)

ta có: 2e > c + d >  \(\frac{2}{3}\) => e  > \(\frac{1}{3}\) => e + c + d > \(\frac{1}{3}\) + \(\frac{2}{3}\) = 1 . Mâu thuẫn với a + b + c + d + e = 1; và a; b; c; d; e không âm

Áp dụng bđt Cô si ta có: cd < \(\frac{1}{4}\)(c + d)² => c.d < \(\frac{1}{9}\)

Mặt khác, 1 = a + b + c + d + e > a + 3b + e > 3b + e > 2.\(\sqrt{3be}\) => b.e < \(\left(\frac{1}{2\sqrt{3}}\right)^2=\frac{1}{12}\) < \(\frac{1}{9}\)

 +) ta có: a.e < b.e < \(\frac{1}{12}\) < \(\frac{1}{9}\); b.c < c.d < \(\frac{1}{9}\); d.a < d.c < \(\frac{1}{9}\)

=> có thể sắp xếp 5 số a; b; c;d; e theo thứ tự như sau: a; e; b; c ; d đều thỏa mãn tích 2 số bất kì cạnh nhau không vượt quá \(\frac{1}{9}\)

Ta sẽ chứng minh tồn tại các số tự nhiên m,p sao cho : 

    96 000 .. 000 +  a + 15p < 97 000 .... 000

     m chữ số 0                      m chữ số 0

Tức là : \(96\frac{a}{10^m}+\frac{15p}{10^m}< 97\left(1\right)\).Gọi \(a+15\)là số có \(k\)chữ số : \(10^{k1}a+15< 10^k\)

\(\Rightarrow\frac{1}{10}\le\frac{a}{10^k}+\frac{15}{10^k}< 1\left(2\right).\)Đặt \(x_n=\frac{a}{10^k}+\frac{15p}{10^k}\). Theo \(\left(2\right)\)

Ta có : \(x_1< 1\)và \(\frac{15}{10^k}< 1\)

Cho \(n\)nhận lần lượt các giá trị \(2;3;4;...;\)các giá trị nguyên của \(x_n\)tăng dần ,mỗi lần tăng không quá 1 đơn vị , khi đó [ \(x_n\)sẽ trải qua các giá trị \(1,2,3,\)Đến một lúc ta có \(\left[x_p\right]=96\).Khi đó \(96x_p\)tức là \(96\frac{a}{10^k}+\frac{15p}{10^k}< 97\). Bất đẳng thức \(\left(1\right)\)đợt chứng minh

Bạn ơi, mình k hiểu cho lắm. Cách này mình cũng biết, nhưng k làm vì k hiểu?

Bài 5: 

Giả sử tồn tại 7 số không thỏa mãn điều kiện đề bài. Không mất tính quát, ta coi rằng \(x_1< x_2< ...< x_7\)

Do 7 số đã cho là các số nguyên dương nên :

\(x_2\ge x_1+1\)

\(x_3+x_1\ge4x_2\ge4\left(x_1+1\right)\Rightarrow x_3\ge3x_1+4\)

\(x_4+x_1\ge4x_3\ge4\left(3x_1+4\right)\Rightarrow x_4\ge11x_1+16\)

\(x_5+x_1\ge4x_4\ge4\left(11x_1+16\right)\Rightarrow x_5\ge43x_1+64\)

\(x_6+x_1\ge4x_5\ge4\left(43x_1+64\right)\Rightarrow x_6\ge171x_1+256\)

\(x_7+x_1\ge4x_6\ge4\left(171x_1+256\right)\Rightarrow x_7\ge683x_1+1024\)

Do x₁ là số nguyên dương nên \(x_1\ge1\Rightarrow x_7\ge683+1024=1707>1706\) (Vô lý)

Vậy nên phải tồn tại bộ ba số thỏa mãn yêu cầu của đề bài.