a) Tứ giác EFMK có góc E và góc M vuông (vì đều bằng các góc chắn nửa đường tròn) nên là tứ giác nội tiếp.

b) Ta có 

$\widehat{HAF}=\widehat{ABE}$ (Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn cung);

$\widehat{EAM}=\widehat{EBM}$ ( góc nội tiếp cùng chắn cung $\stackrel{⌢}{\mathrm{EM}}$)

mà $\widehat{HAF}=\widehat{EAM}$ ($AE$ là tia phân giác góc IAM)

nên $\widehat{ABE}=\widehat{EBM}$, hay BE là tia phân giác góc ABM.

Mặt khác BE cũng là đường cao trong tam giác ABF nên tam giác ABF cân tại B.

c) Tam giác HAK có AE vừa là phân giác vừa là đường cao nên nó cân tại A. Suy ra E là trung điểm HK.

Tứ giác HFKA có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm mỗi đường nên là hình thoi.

d) HFKA là hình thoi nên FK // HA, suy ra tứ giác IFKA là hình thang.

Để IFKA nội tiếp được đường tròn thì nó phải là hình thang cân, hay tam giác MIA vuông cân tại M.

Khi đó, $\widehat{IAM}=45^{\circ }\Rightarrow \widehat{MAB}=45^{\circ },$ tam giác MAB vuông cân tại M. Do đó M là điểm chính giữa cung nửa đường tròn AB.

1. Ta có : ÐAMB = 90⁰ ( nội tiếp chắn nửa đường tròn )

=> ÐKMF = 90⁰ (vì là hai góc kề bù).

ÐAEB = 90⁰ ( nội tiếp chắn nửa đường tròn )

=> ÐKEF = 90⁰ (vì là hai góc kề bù).

=> ÐKMF + ÐKEF = 180⁰ . Mà ÐKMF và ÐKEF là hai góc đối của tứ giác EFMK do đó EFMK là tứ giác nội tiếp.

1.      Ta có ÐIAB = 90⁰ ( vì AI là tiếp tuyến ) => DAIB vuông tại A có AM ^ IB ( theo trên).

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao => AI² = IM . IB.

2.      Theo giả thiết AE là tia phân giác góc IAM => ÐIAE = ÐMAE => AE  =  ME  (lí do ……)

=> ÐABE =ÐMBE ( hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) => BE là tia phân giác góc ABF. (1)

Theo trên ta có ÐAEB = 90⁰ => BE ^ AF hay BE là đường cao của tam giác  ABF (2).

Từ  (1) và (2) => BAF là tam giác cân. tại B .

3.      BAF là tam giác cân. tại B có BE là đường cao nên đồng thời là đương trung tuyến => E là trung điểm của AF. (3)

Từ BE ^ AF => AF ^ HK (4), theo trên AE là  tia phân giác góc IAM hay AE là  tia phân giác ÐHAK  (5)

Từ  (4) và (5) => HAK là tam giác cân. tại A có AE là đường cao nên đồng thời là đương trung tuyến => E là trung điểm của HK. (6).

Từ  (3) , (4) và (6) => AKFH là hình thoi ( vì có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường).

4.      (HD). Theo trên AKFH là hình thoi => HA // FK hay IA // FK =>  tứ giác AKFI là hình thang.

Để tứ giác AKFI nội tiếp được một đường tròn  thì AKFI phải là hình thang cân.

AKFI  là hình thang cân khi M là trung điểm của cung AB.

Thật vậy: M là trung điểm của cung AB => ÐABM = ÐMAI = 45⁰ (t/c góc nội tiếp ). (7)

Tam giác  ABI vuông tại A có ÐABI = 45⁰ => ÐAIB = 45⁰ .(8)

Từ  (7) và (8) => ÐIAK = ÐAIF = 45⁰ => AKFI  là hình thang cân (hình thang có hai góc đáy bằng nhau).

Vậy khi M là trung điểm của cung AB thì tứ giác AKFI nội tiếp được một đường tròn.

Lưu ý – kí hiệu: Ð có nghĩa là góc.

1: Vì A,E,M,B cùng nằm trên (O)

nên AEMB nội tiếp

góc AMB=1/2*180=90 độ

=>AM vuông góc IB

ΔIAB vuông tại A có AM vuông góc IB

nên IA^2=IM*IB

a:góc ABD=góc DCA

góc ABD=góc FAD(góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AD)

góc FAD=góc CAD

=>góc ABD=góc CBD

=>BD là phân giác của góc ABE

mà góc ADB=90 độ

nên BD là đường cao

=>ΔBAE cân tại B

b: Xét ΔEAB có

AC,BD là các đường cao

AC cắt BD tại K

Do đó: K là trực tâm

=>EK vuông góc với BA

c: Xét ΔAKF có AD vừa là đường cao, vừa là phân giác

nên ΔAKF cân tại A

=>góc AKF=góc AFK=góc KFE

=>AK//FE

Xét tứ giác AKEF có

AK//FE

AF//KE

KE=KA

Do đó: AKEF là hình thoi