Xét hệ phương trình gồm phương trình của d và \({\Delta _1}\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - 2 = 0\\3x - 2y + 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y = \frac{3}{2}\end{array} \right.\)

Vậy d và \({\Delta _1}\) cắt nhau tại 1 điểm duy nhất.

Xét hệ phương trình gồm phương trình của d và \({\Delta _2}\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - 2 = 0\\x + 2y + 2 = 0\end{array} \right.\).  Hệ phương trình vô nghiệm.

Vậy d và \({\Delta _2}\) song song với nhau

Xét hệ phương trình gồm phương trình của d và \({\Delta _3}\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - 2 = 0\\2x + 4y--4{\rm{ }} = {\rm{ }}0\end{array} \right.\). Hệ phương trình vô số nghiệm.

Vậy d và \({\Delta _3}\) trùng nhau.

Ta có \({\Delta _1}\)có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1;3} \right)\).

Phương trình tổng quát của \({\Delta _2}\) là \(3x - y + 1 = 0\), suy ra \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {3; - 1} \right)\)

Do \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}}  = 1.3 + 3.\left( { - 1} \right) = 0\). Vậy hai đường thẳng vuông góc với nhau.

Cách 2: 

Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng, ta có:

\(\cos \varphi  = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {1.3 + 3.( - 1)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2}} .\sqrt {{3^2} + {{( - 1)}^2}} }} = 0\)

Do đó góc giữa \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) là \(\varphi =90^o\)

a) Khoảng cách từ điểm A đến \({\Delta _1}\) là: \(d\left( {A,{\Delta _1}} \right) = \frac{{\left| {3.1 - 1.\left( { - 2} \right) + 4} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{9}{{\sqrt {10} }}\)

b) Phương trình tổng quát của đường thẳng \({\Delta _2}\)là: \(2x + y + 3 = 0\)

Khoảng cách từ điểm B đến \({\Delta _2}\) là: \(d\left( {A,{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {2.\left( { - 3} \right) + 1.2 + 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\)

Ta có: \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2} .\sqrt {a_2^2 + b_2^2} }}.\)

a) Tọa độ vecto pháp tuyến của \(\Delta \) là:  

Tọa độ vecto chỉ phương của \(\Delta \) là:

b) Chọn \(x = 0;x = 1\) ta lần được được 2 điểm A và B thuộc đường thẳng \(\Delta \) là: \(A\left( {0;1} \right),B\left( {1;2} \right)\)

Ta có: \(MF = \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} ,d\left( {M,\Delta } \right) = \left| {y + 1} \right|\).

Xét \(MF = d\left( {M,\Delta } \right) \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}  = \left| {y + 1} \right| \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = {\left( {y + 1} \right)^2} \Leftrightarrow {x^2} = 4y \Leftrightarrow y = \frac{1}{4}{x^2}\).

Vậy tập hợp điểm M để \(MF{\rm{ }} = \;d\left( {M,\Delta } \right)\) là parabol \(y = \frac{1}{4}{x^2}\)

a) Ta có: \(\Delta \):\(\frac{x}{{ - 4}} + \frac{y}{2} = 1 \Leftrightarrow x - 2y + 4 = 0\)

Vậy khoảng cách từ O đến \(\Delta \) là: \(d\left( {O;\Delta } \right) = \frac{{\left| {1.0 - 2.0 + 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = \frac{{4\sqrt 5 }}{5}\)

b) Lấy \(M\left( {0;1} \right) \in {\Delta _1}\)

Suy ra: \(d\left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = d\left( {M,{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {0 - 1 - 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \sqrt 2 \)

a) Phương trình tổng quát của đường thẳng \(A{F_1}{\rm{ }}\)là:\(\frac{x}{{ - 3}} + \frac{y}{4} = 1 \Leftrightarrow 4x - 3y + 12 = 0\).

Phương trình tổng quát của đường thẳng \(A{F_2}{\rm{ }}\)là:\(\frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 1 \Leftrightarrow 4x + 3y - 12 = 0\).

b) Giả sử  tâm đường tròn là điểm \(I\left( {a;b} \right)\). Ta có: \(IA = I{F_1} = I{F_2} \Leftrightarrow I{A^2} = I{F_1}^2 = I{F_2}^2\)

Vì \(I{A^2} = I{F_1}^2,I{F_1}^2 = I{F_2}^2\) nên: \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {\left( {4 - b} \right)^2} = {\left( { - 3 - a} \right)^2} + {b^2}\\{\left( { - 3 - a} \right)^2} + {b^2} = {\left( {3 - a} \right)^2} + {b^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = \frac{7}{8}\end{array} \right.\) .

=> \(I\left( {0;\frac{7}{8}} \right)\) và \(R = IA = \sqrt {{0^2} + {{\left( {\frac{{25}}{8}} \right)}^2}}  = \frac{{25}}{8}\)

Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác \(A{F_1}{F_2}\) là: \({x^2} + {\left( {y - \frac{7}{8}} \right)^2} = {\left( {\frac{{25}}{8}} \right)^2}\)

c) Gọi phương trình chính tắc của elip là: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\left( {a > b > 0} \right)\).

Do elip có 2 tiêu điểm \({F_1},{F_2}\) nên \(\sqrt {{a^2} - {b^2}}  = c = 3 \Leftrightarrow {a^2} - {b^2} = 9\).

Mặt khác điểm A thuộc elip nên \(\frac{{16}}{{{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow b = 4\left( {do{\rm{ }}b > 0} \right)\). Vậy \(a = 5\).

Vậy phương trình chính tắc của elip là: \(\frac{{{x^2}}}{{{5^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{4^2}}} = 1\).

a) Ta có: \(\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {HM} } \right| = \left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow {HM} } \right|.\left| {\cos \left( {\overrightarrow n ,\overrightarrow {HM} } \right)} \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} .HM.1 = \sqrt {{a^2} + {b^2}} .HM\)

b) Ta có : \(\overrightarrow n  = \left( {{\rm{a }};{\rm{ b}}} \right)\left( {\overrightarrow n  \ne 0} \right){\rm{ ,}}\overrightarrow {HM}  = \left( {{x_1} - {x_o};{y_1} - {y_o}} \right) \Rightarrow \overrightarrow n .\overrightarrow {HM}  = a\left( {{x_o} - {x_1}} \right) + b\left( {{y_o} - {y_1}} \right) = a{x_o} + b{y_o} + c\) trong đó \(a{x_1} + b{y_1} = c\).

c) Ta có: \(\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {HM} } \right| = \left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow {HM} } \right|.\left| {\cos \left( {\overrightarrow n ,\overrightarrow {HM} } \right)} \right| \Leftrightarrow \left| {a{x_o} + b{y_o} + c} \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} .HM \Rightarrow HM = \frac{{\left| {a{x_o} + b{y_o} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)