Sử dụng định lý Bezout:

a/ \(g\left(x\right)=0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\x=2\end{matrix}\right.\)

\(f\left(x\right)⋮g\left(x\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}f\left(1\right)=0\\f\left(2\right)=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=1\\2a+b=4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=3\\b=-2\end{matrix}\right.\)

b/ \(g\left(x\right)=0\Rightarrow x=-1\)

\(\Rightarrow f\left(-1\right)=0\Rightarrow-a+b=2\Rightarrow b=a+2\)

Tất cả các đa thức có dạng \(f\left(x\right)=2x^3+ax+a+2\) đều chia hết \(g\left(x\right)=x+1\) với mọi a

c/ \(g\left(x\right)=0\Rightarrow x=-2\Rightarrow f\left(-2\right)=0\Rightarrow4a+b=-30\)

\(2x^4+ax^2+x+b=\left(x^2-1\right).Q\left(x\right)+x\)

Thay \(x=1\Rightarrow a+b=-2\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4a+b=-30\\a+b=-2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-\frac{28}{3}\\b=\frac{22}{3}\end{matrix}\right.\)

d/ Tương tự: \(\left\{{}\begin{matrix}f\left(2\right)=8a+4b-40=0\\f\left(-5\right)=-125a+25b-75=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\\b=\end{matrix}\right.\)

có f(x)-g(x)=ax² +2x - 3 - 2x² +bx² +2x - 5 ( đã phá ngoặc )

=> h(x)= ( a+b-2)x² + 4x - 8 ( theo đề bài a+b=2)

=> h(x)=(2-2)x² + 4x - 8x : x ( mình cho thêm x vào nhân với 8 và lại chia x để không có việc gì xảy ra )

=>h(x)= 0 + ( 4-8)x : x

=> h(x)= -4x:x = -4 . 1 = -4

vậy h(x) khác không hay h(x) không có nghiệm

bạn cho mình đầu bài rõ hơn đc ko

a) Ta có: \(g\left(x\right)=x^2-3x+2\)

                          \(=x^2-x-2x+2\)

                            \(=x\left(x-1\right)-2\left(x-1\right)\)

                           \(=\left(x-1\right)\left(x-2\right)\)

Vì \(f\left(x\right)⋮g\left(x\right)\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x-2\right)q\left(x\right)\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}f\left(1\right)=\left(1-1\right)\left(1-2\right)q\left(1\right)=0\left(1\right)\\f\left(2\right)=\left(1-2\right)\left(2-2\right)q\left(2\right)=0\left(2\right)\end{cases}}\)

Từ \(\left(1\right)\Leftrightarrow1^4-3.1^3+1^2+a+b=0\)

\(\Leftrightarrow-1+a+b=0\)

\(\Leftrightarrow a+b=1\left(3\right)\)

Từ \(\left(2\right)\Leftrightarrow2^4-3.2^3+2^2+2a+b=0\)

\(\Leftrightarrow-4+2a+b=0\)

\(\Leftrightarrow2a+b=4\left(4\right)\)

Từ \(\left(3\right);\left(4\right)\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b=1\\2a+b=4\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=3\\b=-2\end{cases}}}\)

Vậy a=3 và b=-2 để \(f\left(x\right)⋮g\left(x\right)\)

Các phần sau tương tự

\(f\left(x\right)=\left(x-1\right).g\left(x\right)\)

\(\Rightarrow3x^3-2x^2+x+5=\left(x-1\right)\left(3x^2+ax+b\right)\)

\(\Rightarrow3x^3-2x^2+x+5=3x^3+ax^2+bx-3x^2-ax-b\)

\(\Rightarrow-2x^2+x+5=x^2\left(a-3\right)+x\left(b-a\right)-b\)

-Bạn kiểm tra lại đề.

ban lam sai roi 3x^3 + ax^2 phai =x^2.(3+a)

a) Ta có f(7) = a7 + b và f(2) + f(3) = (a2+ b) + (a3 + b) = 5a + 2b. Vậy để f(7) = f(2) + f(3), ta cần giải phương trình:
a7 + b = 5a + 2b
Simplifying, ta được: 2a = b.
Vậy điều kiện của a và b để f(7) = f(2) + f(3) là b = 2a.
b) Để tìm nghiệm của P(x), ta cần giải phương trình (x-2)(2x+5) = 0:
(x-2)(2x+5)= 0
→ X-2 = 0 hoặc 2x+5 = 0
→ x = 2 hoặc x = -5/2
Vậy nghiệm của P(x) là x = 2 hoặc x =-5/2.
c) Ta biết rằng đa thức P(x) có 1 nghiệm là -2, vậy ta có thể viết P(x)

dưới dạng:
P(x) = (x+2)(x^3 - 2x^2 + ax - 2)
Từ đó suy ra:
P(-2) = (-2+2)(8 - 4a - 2) = 0
⇔-8a= 16
⇔a = -2
Vậy hệ số a của P(x) là -2.

tại sao a7 + b = 5a + 2b lại bằng  2a = b vậy ạ

Gọi h(x) là thương trong phép chia f(x) cho g(x)

Vì f(x) bậc 3, g(x) bậc 2 => h(x) bậc nhất

=> h(x) có dạng cx + d

f(x) ⋮ g(x) <=> f(x) = g(x).h(x)

<=> x³ + ax² + 2x + b = ( x² + x + 1 )( cx + d )

<=> x³ + ax² + 2x + b = cx³ + dx² + cx² + dx + cx + d

<=> x³ + ax² + 2x + b = cx³ + ( d + c )x² + ( d + c )x + d

Đồng nhất hệ số ta có :

\(\hept{\begin{cases}c=1\\d+c=a=2\\d=b\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=2\\b=c=d=1\end{cases}}\)

Vậy a = 2 , b = 1

Vì \(f \left(x\right)⋮g\left(x\right)\)\(\Rightarrow\)\(f\left(x\right)=g\left(x\right).Q\left(x\right)\)     

Đặt \(Q\left(x\right)=cx+d\)          \(\left(c,d\ne0\right)\)

\(\Rightarrow\)\(f\left(x\right)=\left(x^2+x+1\right).\left(cx+d\right)\)

\(\Leftrightarrow\)\(f\left(x\right)=cx^3+dx^2+cx^2+dx+cx+d\)

\(\Leftrightarrow\)\(x^3+ax^2+2x+b=cx^3+\left(d+c\right)x+\left(d+c\right)x+d\)

Đồng nhất hệ số, ta có:

      \(c=1\)                                             \(a=2\)

      \(d+c=a\)              \(\Leftrightarrow\)           \(b=1\)

      \(d+c=2\)                                    \(c=1\)\(\left(TM\right)\)

      \(d=b\)                                             \(d=1\)\(\left(TM\right)\)

Vậy \(f \left(x\right)⋮g\left(x\right)\)khi  \(\hept{\begin{cases}a=2\\b=1\end{cases}}\)

Lời giải:

$f(x)=x^4+x^3+ax^2+4x+b=x^2(x^2-2x+2)+3x(x^2-2x+2)+(a+4)x^2-2x+b$

$=(x^2+3x)(x^2-2x+2)+(a+4)(x^2-2x+2)+2(a+3)x-2(a+4)+b$

$=(x^2+3x+a+4)(x^2-2x+2)+2(a+3)x-2(a+4)+b$

$=(x^2+3x+a+4)g(x)+2(a+3)x-2(a+4)+b$

Để $f(x)\vdots g(x)$ thì:

$2(a+3)x-2(a+4)+b=0,\forall x$

$\Rightarrow a+3=-2(a+4)+b=0$

$\Rightarrow a=-3; b=2$