Ta có : 

(n,6) = 1 => n phải là số lẻ ( nếu n chẵn thì ( n,6) = 2 )

=> n - 1 và n + 1 là 2 số chẵn liên tiếp 

=> ( n - 1 )(n + 1 ) chia hết cho 8 

(n,6) = 1 => n không chia hết cho 3

=> n sẽ có dạng là 3k +1 ; 3k + 2 ( k thuộc Z )

Với n = 3k +1 => n -1 = 3k + 1 -1 = 3k chia hết cho 3  => (n - 1)(n+1) chia hết cho 3 

Với n = 3k + 2 => n + 1 = 3k + 2 +1 = 3k+ 3 chia hết cho 3 => ( n -1 )(n +1) chia hết cho 3 

Với cả 2TH => ( n-1)(n+1) chia hết cho 3 

Mà (8,3)= 1 => (n-1)(n+1) chia hết cho 24 ( đpcm)

ta có \(\left(n-1\right).n.\left(n+1\right)⋮3\) mà UCLN (3,n) = 1

nên \(\left(n-1\right).\left(n+1\right)⋮3\) (1)

n là số nguyên tố lớn hơn 3 nên n là số lẻ, p - 1 và p + 1 là hai số chẵn liên tiếp

Trong số hai số chẵn liên tiếp , có một số là bội của 4 nên tích chúng chia hết cho 8  (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\left(n-1\right).\left(n+1\right)⋮3và8\)

Mà UCLN (3,8) = 1

nên \(\left(n-1\right).\left(n+1\right)⋮24\)

A) Vì 2013 là số lẻ nên (\(1^{2013}+2^{2013}\)+....\(n^{2013}\)): (1+2+...+n)

Hay( \(1^{2013}+2^{2013}\)+\(3^{2013}\)+......\(n^{2013}\)) :\(\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}\)

=>2(\(1^{2013}+2^{2013}\)+\(3^{2013}\)+......\(n^{2013}\)):n(n+1)(đpcm)

B)

Do 1 lẻ , \(2q^2\) chẵn nên  lẻ

\(2q^2\)

 lẻ nên  và đều chẵn 

\(q^2\)

\(q^2\)

a, Vì 2013 là số lẻ nên (\(^{1^{2013}+2^{2013}+...n^{2013}}\))⋮(1+2+...+n)

=>\(\left(1^{2013}+2^{2013}+...+n^{2013}\right)\)⋮\(\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}\)

=>\(2\left(1^{2013}+2^{2013}+...+n^{2003}\right)\)⋮n(n+1)

đpcm

Đề sai thế n =  1 thì

\(\left(1-1\right)^2< 1< \left(1+1\right)^2\)

Giả sử n là số chính phương 

vì: n là số nguyên >1 và \(\left(n-1\right)^2< n< \left(n+1\right)^2\)

nên: n=n^2.\(\Rightarrow n^2-n=0\Leftrightarrow n\left(n-1\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}n-1=0\\n=0\end{cases}}\)

Mà: n>1 nên: n-1>0 

và n>0 (vô lí) vậy n ko là số chính phương

Lời giải:
Đặt $\frac{a_1}{a_2}=\frac{a_2}{a_3}=\frac{a_3}{a_4}=...=\frac{a_n}{a_{n+1}}=t$

Áp dụng TCDTSBN:

$t=\frac{a_1}{a_2}=\frac{a_2}{a_3}=\frac{a_3}{a_4}=...=\frac{a_n}{a_{n+1}}=\frac{a_1+a_2+a_3+....+a_n}{a_2+a_3+....+a_{n+1}}$

$\Rightarrow t^n=\left[\frac{a_1+a_2+a_3+....+a_n}{a_2+a_3+....+a_{n+1}}\right]^n(*)$

Lại có:

$\frac{a_1}{a_2}.\frac{a_2}{a_3}.\frac{a_3}{a_4}....\frac{a_n}{a_{n+1}}=t.t.t....t$

$\Rightarrow \frac{a_1}{a_{n+1}}=t^n(**)$
Từ $(*)$ và $(**)$ ta có:

$\left[\frac{a_1+a_2+a_3+....+a_n}{a_2+a_3+....+a_{n+1}}\right]^n=\frac{a_1}{a_{n+1}}$ (đpcm)

Câu 2: 

Nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì p=3k+1 hoặc p=3k+2 và p=2a+1

=>(p+1)(p-1) chia hết cho 8(1)

TH1: p=3k+1

\(A=\left(p+1\right)\left(p-1\right)=\left(3k+2\right)\cdot3k⋮3\)

TH2: p=3k+2

\(A=\left(p+1\right)\left(p-1\right)=\left(3k+3\right)\cdot\left(3k+1\right)=3\left(k+1\right)\left(3k+1\right)⋮3\)

=>A chia hết cho 3

mà A chia hết cho 8

nên A chia hết cho 24