a, ta có md là tia phân giác của góc M⇒

\(\dfrac{ND}{DP}=\dfrac{MN}{MP}=\dfrac{8}{12}\Rightarrow\dfrac{ND}{DP}=\dfrac{8}{12}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow\dfrac{ND}{ND+DP}=\dfrac{2}{2+3}\Rightarrow\dfrac{ND}{NP}=\dfrac{2}{5}\)

Chọn D

Vì \(MD\) là tia phân giác góc \(M\left( {D \in NP} \right)\) nên theo tính chất đường phân giác ta có:

\(\frac{{DN}}{{DP}} = \frac{{MN}}{{MP}};\frac{{DN}}{{MN}} = \frac{{DP}}{{MP}};\frac{{DP}}{{DN}} = \frac{{MP}}{{MN}};\frac{{DP}}{{MP}} = \frac{{DN}}{{MN}}\)

a: Xét ΔHNM vuông tại H và ΔMNP vuông tại M có

góc N chung

Do đó: ΔHNM\(\sim\)ΔMNP

b: \(NP=\sqrt{6^2+8^2}=10\left(cm\right)\)

\(MH=\dfrac{MN\cdot MP}{NP}=4.8\left(cm\right)\)

\(HN=\dfrac{MN^2}{NP}=3.6\left(cm\right)\)

=>HP=6,4(cm)

a) Xét ΔMNP có MD là đường phân giác ứng với cạnh NP(gt)

nên \(\frac{ND}{NM}=\frac{DP}{PM}\)

\(\Leftrightarrow\frac{ND}{8}=\frac{7.5}{10}\)

hay \(ND=\frac{7.5\cdot8}{10}=\frac{60}{10}=6cm\)

Vậy: ND=6cm

b) Xét ΔMNP có DC//MP(gt)

nên \(\frac{NC}{CM}=\frac{ND}{DP}\)

\(\Leftrightarrow\frac{NC}{CM}=\frac{6}{7.5}\)

hay \(\frac{NC}{6}=\frac{CM}{7.5}\)

Ta có: NC+CM=MN=8cm(C nằm giữa N và M)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\frac{NC}{6}=\frac{CM}{7.5}=\frac{NC+CM}{6+7.5}=\frac{NM}{13.5}=\frac{8}{13.5}=\frac{16}{27}\)

Do đó: \(\frac{NC}{6}=\frac{16}{27}\)

\(\Leftrightarrow NC=\frac{16\cdot6}{27}=\frac{96}{27}=\frac{32}{9}\simeq3.55cm\)

Vậy: NC\(\simeq\)3,55cm

a) Xét\(\Delta FEPvà\Delta DEMcó\)

EF=ED(giả thiết)

\(\widehat{FEP}=\widehat{DEM}\) ( 2 góc đối đỉnh )

EP=EM ( vì E là trung điểm của PM)

\(\Rightarrow\Delta FEP=\Delta DEM\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{PFE}=\widehat{MDE}\) ( 2 góc tương ứng)

hay \(\widehat{PFD}=\widehat{MDF}\) mà 2 góc này là 2 góc so le trong của đường thẳng FD cắt 2 đường thẳng FP và MD

\(\Rightarrow FP//MD\)

vậy \(FP//MD\)

b) ta có  \(\Delta FEP=\Delta DEM\) (chứng minh câu a)

\(\Rightarrow FD=DM\) ( 2 cạnh tương ứng )

mà MD=ND (vì D là trung điểm của MN )

\(\Rightarrow DN=FP\)

vậy DN=FP

c) nối F và N

ta có \(MD//FP\)  \(hay\) \(MN//FP\Rightarrow\widehat{PFN}=\widehat{DNF}\) ( 2 góc so le trong )

Xét\(\Delta PFNvà\Delta DNFcó\)

PF=DN (chứng minh câu b )

\(\widehat{PFN}=\widehat{DNF}\) (chứng minh trên )

FN là cạnh chung 

\(\Rightarrow\Delta PFN=\Delta DNF\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow DF=NP\) ;

\(\widehat{DFN}=\widehat{PNF}\)  mà 2 góc này là 2 góc so le trong của đường thẳng FN cắt 2 đường thẳng FD và NP

\(\Rightarrow FD//NP\)

vậy FD//NP